Phép cộng điểm cho các điểm của đường cong elip trong $\mathbb{F}_p$ được thực hiện về mặt kỹ thuật như thế nào?

Từ một văn bản giới thiệu rất cơ bản đến số học điểm mật mã đường cong elip được lấy từ "phân tích tiêu chuẩn": Tổng (âm) của $P_1$ và $P_2$ được định nghĩa là Điểm $P_3$, nằm trên đường kết nối $P_1$ và $P_2$:

Từ đó suy ra

Trong số thực tôi sẽ hiểu điều đó hoàn toàn. Nhưng thông thường, ECC được thực hiện trong trường hữu hạn (số nguyên tố) $\mathbb{F}_p$.

Em hiểu phép nhân/chia trong công thức cộng như thế nào? $m \cdot (x_1-x_3) $ vì m là một "phân số"? Thông thường tôi sẽ mong đợi điều đó $m$ là một "số phân số" và nói chung không có trong $\mathbb{F}_p$. Vì vậy, làm thế nào là $m$ thu được, bởi vì "phép chia" không phải là một phép toán trong một trường - chỉ có một phần tử nghịch đảo cấp số nhân:

Nó có nghĩa là, tôi phải tính toán

$y_3 = (y_2-y_1)(x_2-x_1)^{-1}(x_1-x_3) - y_1$

Vì nghịch đảo được xác định rõ và tồn tại, $y_3$ cũng được xác định rõ. Là giả định của tôi đúng hay những gì khác là "phân số" $m$? Điều đó có nghĩa là, đạo hàm có ý nghĩa, bởi vì về mặt hình thức, mỗi hoạt động được thực hiện trong $\mathbb{R}$ Tôi cũng có thể thực hiện song song trong vòng $\mathbb{F}_p$, bởi vì cả hai đều là trường và ký hiệu $a/b$ có nghĩa là ngầm hiểu $a b^{-1}$?