Cách tính nghịch đảo của hàm $x^3$ trong $\mathbb{F}_{2^n}$

Thứ tự của nhóm nhân của $\mathbb F_{2^n}$ Là $2^n-1$. Nếu 3 là nguyên tố cùng nhau $2^n-1$ sau đó tồn tại $d\in [1,\ldots,2^n=1]$ như vậy mà $3d\equiv 1\pmod{2^n-1}$. Chúng ta có thể tìm thấy một $d$ sử dụng thuật toán Euclide mở rộng.

chức năng trên $\mathbb F_{2^n}$ $y\mapsto y^d$ sau đó là nghịch đảo của bản đồ $x\mapsto x^3$ vì cho $x\in\mathbb F_{2^n}^\times$ chúng ta có $(x^3)^d=x^{3d}=x^1$ (trường hợp $x=0$ là rõ ràng).

Điều này có nghĩa rằng $x\mapsto x^3$ là song ánh và do đó là một hoán vị.

trong trường hợp $3|2^n-1$, nếu $x^3=y$ Trong $\mathbb F_{2^n}$ sau đó để làm $(\omega x)^3=y$ và $(\omega^2 x)^3=y$ ở đâu $\omega$ là một căn bậc ba của 1 trong $\mathbb F_{2^n}$. Theo đó, trong trường hợp này, bản đồ không phải là nội hàm và do đó không phải là một hoán vị.