Cách tính hàm nghịch đảo S:S:\mathbb{F}_{2^n}\rightarrow \mathbb{F}_{2^n},với S(x)=x^{-1}

Định lý Euler là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange áp dụng cho nhóm $(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times$. Nó có thể được áp dụng trong trường hợp $m=2^n$ ở đâu $|(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times|=2^{n-1}$ để suy ra rằng với mọi số nguyên lẻ $x$ $x^{2^{n-1}-1}\equiv x^{-1}\pmod{2^n}$. Tuy nhiên, điều này khác với nhóm $\mathbb F_{2^n}^\times$. Trong trường hợp này $|\mathbb F_{2^n}^\times|=2^n-1$ và chúng ta có thể sử dụng điều này để suy ra rằng đối với bất kỳ phần tử nào $x\in\mathbb F_{2^n}^\times$ chúng ta có $x^{2^n-2}\equiv x^{-1}$. Các yếu tố của $\mathbb F_{2^n}$ thường được viết dưới dạng đa thức trong một số biến, chẳng hạn $X$, trên $\mathbb F_2$ modulo một số đa thức bất khả quy, giả sử $f(X)$ bằng cấp $n$. Do đó, một cách khác để diễn đạt điều này là nói rằng với mọi đa thức $g(X)$ đồng nguyên tố với $f(X)$ trên $\mathbb F_2$ chúng ta có $$g(X)^{2^n-2}\equiv g(X)^{-1}\pmod{\langle 2,f(X)\rangle}.$$