PRF Xored (hoặc nhân lên) với một số ngẫu nhiên có còn là một PRF an toàn không?

Tôi biết rằng một PRF Xored với khóa của nó không phải là một PRF an toàn. Sau đó, tôi tự hỏi rằng điều gì sẽ xảy ra nếu mục Xored (hoặc nhân) là một số ngẫu nhiên khác. Biểu thức chính thức như sau:

Để cho $F_k(x):\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$ là một PRF.

"$<<$" hoạt động cho biết xoay trái,"$\cdot$" hoạt động cho biết mô-đun nhân nhị phân $2^n$ ở đâu $n$-chuỗi bit được hiểu là số trong $Z_{2^n}$ và "$(a, b)$" là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

Q1. Định nghĩa $F'_{k_1,k_2}(x) = F_{k_1}(x) \oplus k_2$, ở đâu $k_2$ được chọn thống nhất từ $\{0,1\}^n$. Sau đó $F'_{k_1,k_2}(x)$ một PRF?

Q2. Định nghĩa $F''_{k_1,k_2}(x) = (F_{k_1}(x)<<1) \oplus k_2$, ở đâu $k_2$ được chọn thống nhất từ $\{0,1\}$. Sau đó $F''_{k_1,k_2}(x)$ một PRF?

Q3. Định nghĩa $F'''_{k_1,k_2}(x) = k_2 \cdot F_{k_1}(x)$, ở đâu $k_2$ được chọn thống nhất từ $\{0,1\}^{n-1}||1$, I E. $(k_2,2^n) = 1$. Sau đó $F'''_{k_1,k_2}(x)$ một PRF?

Tôi nghĩ rằng chúng là PRF, nhưng tôi không biết làm cách nào để chứng minh điều đó một cách chính thức. $k_2$ trong Q.3 bắt buộc phải là số lẻ vì nếu là số chẵn thì $F'''$ trả về một số chẵn và không thể là PRF.