Đưa ra các định nghĩa sau cho $\mathbb{Z}[x] /\left(x^{n}-1\right)$:
$$
a \cdot b \equiv \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i +j}+\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=n-j}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i+j-n}\ trái(\bmod x^{n}-1\phải)
$$
Tương tự, đối với $\mathbb{Z}[x] /\left(x^{n}+1\right)$ phép nhân được định nghĩa là
$$
a \cdot b \equiv \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i +j}-\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=n-j}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i+j-n}\ trái(\bmod x^{n}+1\phải)
$$
Một ví dụ chi tiết: Hãy để $a(x) = x^{2} + 2x + 3$ và $b(x) = x^{2} + x$
Các ví dụ sau đây được lấy từ một tác phẩm đã xuất bản. Giả sử tác giả đã sử dụng các công thức trên để tính toán tổng cuối cùng một cách chính xác:
Ví dụ 1 nói rằng: Trong $\mathbb{Z}[x]/(x^{3} - 1)$ tổng kết quả từ công thức đầu tiên được đưa ra như $(5x^{2} + 3x) + (x + 3) = 5x^{2} + 4x + 6$.
Câu hỏi 1: Làm thế nào là 6 có được trong câu trả lời cuối cùng? nó không nên
$5x^{2} + 4x + 3$? bởi vì $\mathbb{Z}[x]$ có nghĩa là chúng tôi đang làm việc với đa thức trong $x$ có hệ số được xác định trên $\mathbb{Z}$, tập hợp tất cả các số nguyên.
Ví dụ 2: Trong $\mathbb{Z}[x]/(x^{3} + 1)$ tổng kết quả từ công thức thứ hai là $(5x^{2} + 3x) - (x + 3) = 5x^{2} + 2x$.
Câu hỏi 2: Tương tự, câu trả lời kết quả có nên không $5x^{2} + 2x - 3$ vì có hạn chế về các hệ số (ví dụ: chúng tôi không làm việc trong $\mathbb{Z}_q$ cho một số quy định $q$).
