Đây không phải là một câu trả lời.
Với hy vọng hỗ trợ bất kỳ ai nghĩ về điều này và theo nhận xét của @TMM, đây là một chút xác thực hơn xung quanh tuyên bố "Theo trực giác, người ta cảm thấy rằng nếu $\beta_2$ nhỏ, thì sự đóng góp của các vectơ khác nhau vào điểm số sẽ không độc lập".
xem xét trường hợp $\beta_2=1$. Trong trường hợp này tất cả của chúng tôi $(\mathbf x^T,\mathbf y^T)$ các vectơ sẽ là bội số của một vectơ tạo đơn lẻ, giả sử $\alpha(\mathbf x_0^T,\mathbf y_0^T)$ với $\alpha$ có lẽ một số Gaussian rời rạc tùy thuộc vào số lượng vectơ. Bây giờ có $q^{n-1}$ vectơ $\mathbf v$ như vậy mà $\mathbf x_0^T\cdot\mathbf v=0$. Xét bất kỳ vectơ nào có dạng $\mathbf v+\mathbf e$ ở đâu $\mathbf e$ được rút ra từ cùng một phân phối như mẫu LWE. Chúng tôi mong đợi có lẽ $O(\sigma^nq^{n-1})$ các vectơ như vậy (các vectơ có hai cách biểu diễn như vậy rất hiếm) và đối với các vectơ lớn $n$ chúng tôi có thể mong đợi những thứ này sẽ bao phủ hầu hết không gian. Điểm của các vectơ như vậy được cho bởi $\alpha\mathbf x_0^T\mathbf e$ và số điểm của các giải pháp nhân quả được đưa ra bởi $\alpha(\mathbf x_0^T\mathbf e+\mathbf y_0^T\mathbf s)$. Không gian của các vectơ nhân quả sẽ không thể phân biệt được.
Tổng quát hơn cho $\beta_2=k$ cố định, sẽ có cơ sở của $k$ $(\mathbf x_i^T,\mathbf y_i^T)$ các vectơ với tập kiểm tra của chúng tôi được hình thành từ các tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở trong đó các hệ số là Gaussian (?). Một lần nữa sẽ có một bộ $q^{n-k}$ vectơ $\mathbf v$ vuông góc với tất cả các $\mathbf x_i^T$ và có lẽ là một vùng lân cận của $O(\sigma^nq^{n-k})$ của các véc tơ phi nhân quả có điểm thấp.
Điều này dường như gợi ý rằng $\beta_2$ nên ít nhất $n\log \sigma/(\log q)$, nhưng có thể có các tập cấu trúc nhưng phi nhân quả khác cũng như các điểm thấp phi cấu trúc. Tương tự như vậy, các lập luận về việc thiếu trùng lặp trong vùng lân cận và giữa các tập hợp nhân quả tốt nhất là theo kinh nghiệm.
