Thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính trên các trường hữu hạn khi cần một tham số

Tôi đang đọc bài báo của Kipnis và Shamir về Phân tích mật mã của hệ thống mật mã khóa công khai HFE bằng cách tái tuyến tính hóa và tôi muốn triển khai ví dụ ở cuối trong Octave mà không cần sử dụng bất kỳ gói bổ sung nào (ví dụ: tượng trưng ...). Tôi muốn tạo một thuật toán giải các hệ phương trình tuyến tính trên các trường hữu hạn (q = 7 trong trường hợp này) trong đó bạn có nhiều biến hơn phương trình (trong trường hợp này tôi sẽ cần một tham số).

Tôi khá mới với chủ đề này vì vậy tôi đã thử thiết lập $y_{12} = z$ (ví dụ từ bài báo) và trừ đi $y_{12}$ vectơ từ giải pháp cho $ z = ${$1, 2$} và giải hệ phương trình cho hai nghiệm mới để cố gắng tìm hệ số góc của nghiệm tham số:
$ y_{11} = 2 + 5z \ y_{12} = z \ y_{13} = 3 + 2z \ ... $

Điều này dường như không hoạt động vì những lý do mà tôi nghĩ rằng tôi biết và bây giờ tôi không biết phải làm gì. Tôi đánh giá cao sự giúp đỡ của bạn.
Để tiết kiệm cho bạn một chút thời gian sao chép các phương trình vào Octave, tôi sẽ để lại cho bạn điều này:

eq = [3 5 5 2 6 4 5; 6 1 4 4 5 1 6; 5 2 6 2 3 2 5; 2 0 1 6 5 5 0; 4 6 2 5 1 4 0];