Để cho $E$ là một đường cong elip trên một trường hữu hạn $K$. Sau đó, các điểm thỏa mãn phương trình đường cong tạo thành một nhóm abelian dưới phép cộng điểm. Thứ tự của nhóm $q= \#E(K)$ có thể là số nguyên tố hoặc hợp số. Nếu thứ tự là số nguyên tố, chúng được gọi là đường cong chính. Để cho $p$ là số nguyên tố lớn nhất sao cho $p\mid q$. đồng nhân tố $h$ được định nghĩa là $h=q/p$.
Có những điểm tinh tế khi có một thứ tự nguyên tố (tức là $h=1$) hay không ($h>1$).
Khi chúng ta có các đường cong nguyên tố, mọi phần tử đều là trình tạo - ngoại trừ phần tử nhận dạng -. Điều này dễ dàng nhận thấy với Định lý Lagrange trên Lý thuyết Nhóm; thứ tự của một nhóm con chia thứ tự của nhóm. Vì thứ tự của nhóm là số nguyên tố nên tất cả các nhóm con đều có cùng thứ tự với nhóm.
Điều này an toàn trước cuộc tấn công Pohlig-Hellman khi thứ tự nhóm không phải là số nguyên tố.
Khi mà $h>1$ chúng tôi có một số phân nhóm. Hãy xem xét Curve25519 nơi $h=8$ và điều này ngụ ý rằng có thể có các nhóm con theo thứ tự $2,4,8,2p,4p,q=8p$ (Nghịch đảo của định lý Lagrange nói chung là không đúng, tuy nhiên, người ta có thể kiểm tra xem thực sự có những nhóm con như vậy của đường cong này hay không).
Tất nhiên, người ta không chọn một đường cong có hai số nguyên tố lớn phân chia thứ tự đường cong. Vì vậy, Pohlig-Hellman không giúp được gì nhiều ở đây.
Vẫn có những cuộc tấn công trong trường hợp này. Nếu người dùng hợp pháp không tuân theo hướng dẫn, họ dễ bị tấn công các cuộc tấn công nhóm nhỏ tích cực LimâLee. Nếu họ tuân theo hướng dẫn, họ sẽ an toàn trước cuộc tấn công này. Tất nhiên, chúng ta đang ở trong thế giới tự do không nghe hướng dẫn, sau đó Monero và những người khác đã tấn công họ thực hiện. Mike Hamburg đã loại bỏ gánh nặng bằng cách xây dựng khử caffein để giảm thiểu vấn đề từ tay của người dùng hợp pháp.
Nếu bạn không tuân theo hướng dẫn, bạn cần xác thực điểm.
Vậy tại sao chúng ta sử dụng các đường cong không nguyên tố? Câu trả lời là trong hiệu suất
Các Thang Mongomery cung cấp một cấu trúc nhanh và đều đặn để tính phép nhân vô hướng trên các đường cong Montgomery. Cấu trúc có thể có bảo mật kênh bên nếu được triển khai chính xác. Để có biểu diễn Montgomery, đường cong này phải có yếu tố thứ tự $4$.
Đối với các đường cong nguyên tố, có Thang Joye, tuy nhiên, nó không nhanh bằng bậc thang Montgomery.
