Kết quả đối ngẫu cho một số mạng mô-đun

Để cho $R$ là vành các số nguyên của trường cyclotomic $\mathbb{Q}(\zeta_n)$, ở đâu $n$ là lũy thừa của hai, và $\boldsymbol{a} \in R_{q}^{m}$, vì $m\in\mathbb{Z}^+$, $q\in\mathbb{Z}_{\geq2}$ nguyên tố. Xác định những điều sau đây $R$-mô-đun, ở đâu $I$ là một lý tưởng của $R_{q} = R/qR$: $$ \bắt đầu{tập hợp} \boldsymbol{a}^{\perp}(I):=\left\{\left(t_{1}, \ldots, t_{m}\right) \in R^{m}: \forall i,\ left(t_{i} \bmod q\right) \in I \text { and } \sum_{i} t_{i} a_{i}=0 \bmod q\right\}, \ L(\boldsymbol{a}, I):=\left\{\left(t_{1}, \ldots, t_{m}\right) \in R^{m}: \exists s \in R_{q }, \forall i,\left(t_{i} \bmod q\right)=a_{i} \cdot s \bmod I\right\}. \end{thu thập} $$ lý tưởng của $R_{q}$ có thể được viết dưới dạng $I_{S}:=\prod_{i \in S}\left(x-\zeta_n^{i}\right) \cdot R_{q}=\left\{a \in R_{q}: \forall i \in S, a\left(\zeta_n^{i}\right)=0\right\}$, ở đâu $S$ là tập con bất kỳ của $\{1, \ldots, n\}$ (các $\zeta_n^{i}$'s là gốc rễ của $\Phi_n$ modulo $q$ ). Định nghĩa $I_{S}^{\times}=\prod_{i \in S}\left(x-{\zeta_n^{i}}^{-1}\right) \cdot R_{q}$.

Các tác giả của điều này giấy thì chứng minh (Bổ đề 7): cho $S \subseteq\{1, \ldots, n\}$ và $\boldsymbol{a} \in R_{q}^{m}$. Để cho $\bar{S}=\{1, \ldots, n\} \backslash S$ và $\boldsymbol{a}^{\times} \in$ $R_{q}^{m}$ được xác định bởi $a_{i}^{\times}=a_{i}\left(x^{-1}\right)$. Sau đó, với $\widehat{\cdot}$ biểu thị đối ngẫu của một mạng tinh thể: $$ \widehat{\boldsymbol{a}^{\perp}\left(I_{S}\right)}=\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I_{ \bar{S}}^{\times}\right). $$ Câu hỏi của tôi là: trong khi ngăn chặn $\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I_{\bar{S}}^{\times}\right)\subset \widehat{\boldsymbol{a} ^{\perp}\left(I_{S}\right)}$ rõ ràng với tôi, tôi không thể chứng minh hướng ngược lại $\widehat{\boldsymbol{a}^{\perp}\left(I_{S}\right)}\subset\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I_{\bar{S}}^{\times}\right)$. Kết quả thu được như thế nào?