Phụ thuộc vào $\alpha,N,x$ trình tự $x\mapsto x^\alpha \mod N$ có thể có độ dài khác nhau. Nếu phần tử đầu tiên $x_0$ được khởi tạo với $x_0 = x_r^\alpha$ ngẫu nhiên $x_r$ chuỗi sẽ hầu như luôn có cùng kích thước không đổi.
Ở đây chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào các trình tự phổ biến nhất với kích thước tối đa $N_L$ (cho đã cho $\alpha,N$).
Tùy theo lựa chọn $x_0$ nó có thể dẫn đến các trình tự khác nhau, rời rạc với cùng kích thước trình tự tối đa.
Câu hỏi: Có công thức chung nào để tính số lượng các dãy đó không (ví dụ $\alpha,N$)?
Chỉnh sửa: Câu trả lời được đăng và chấp nhận không trả lời câu hỏi này nhưng rất hữu ích.
Một câu trả lời cho câu hỏi này vẫn được chào đón. (chỉnh sửa kết thúc)
Trong khi mày mò xung quanh, tôi đã tìm thấy một số công thức cho một số $N, \alpha$ có cấu trúc đặc biệt. chiều dài chu kỳ $\alpha$ modulo một số thừa số nguyên tố của $\phi(N)$ và cả những yếu tố $\phi(\phi(N))$ dường như có một số tác động đến số lượng đó.
Nó cũng liên quan đến số lượng các giá trị khác nhau $N_{\alpha}=|\{x^\alpha \bmod N\}|$ và độ dài tối đa của các chuỗi đó $N_L$.
Vì $N_\alpha$ nó có một số câu trả lời trong khác chủ đề. Nếu $N$ là tích của các thừa số nguyên tố duy nhất:
$$N = \prod_{i=1}^n p_i$$
Số lượng các giá trị khác nhau $N_\alpha$ sẽ là
$$N_{\alpha} =\prod_{i=1}^n\left(1+\frac{p_i-1}{\mathrm{gcd}(\alpha,p_i-1)}\right)$$
Vì $N_L$ Tôi chỉ tạo ra một số phương trình phù hợp với một số $N, \alpha$. Một công thức chung cũng sẽ được hoan nghênh.
Cả hai cùng nhau có thể dẫn đến một xấp xỉ số lượng trình tự.
Câu hỏi phụ: Các dãy đó có tên đặc biệt không? Đây có phải là thuộc tính này và các thuộc tính khác được mô tả ở đâu đó (ở dạng thu gọn) không?
Mục tiêu $N$ cũng sẽ có $2$,$3$ hoặc $4$ thừa số nguyên tố duy nhất lẻ.
