Tác động nào đến bảo (nhân tử hóa) có thừa số nguyên tố chung giữa các thừa số nguyên tố? $N=P\cdot Q$ với $P=2\cdot F\cdot p+1$, $Q=2\cdot F\cdot q+1$

Có một điểm yếu lớn trong các sản phẩm 1024 bit được tạo theo với phương pháp được mô tả nếu bạn sử dụng lại F.

Nếu cả N1 và N2 đều được tạo ra với cùng một F, F có thể được tính ngay lập tức:

G = gcd(N1-1,N2-1) = 2Fk.  

Yếu tố G để có được F, rất dễ phát hiện vì nó có độ dài 461 bit.

Ngoài ra, bảo mật có thể bị suy yếu đáng kể nếu khó bao thanh toán N-1 dễ hơn đáng kể so với bao thanh toán N.

N-1 là một hỗn hợp có thể dễ dàng hơn đáng kể so với tích 1024 bit của hai số nguyên tố 512 bit.

Dựa trên các định nghĩa và giới hạn của F, p và q trong câu hỏi: N = (2Fp+1)(2Fq+1)

mở rộng N = 4*F^2pq+2Fp+2Fq+1

sắp xếp lại N = 2F(2Fpq+p+q)+1

N-1 = 2F(2Fpq+p+q)

Sau khi bao thanh toán N-1, bạn có F, xấp xỉ. Số nguyên tố 461 bit.

Gọi u là (N-1)/2F = (2Fpq+p+q)

u = (2Fpq+p+q)

Sau đó tính s = mod(u,2F) = p+q,

q = sp

Thay thế s-p cho q và s cho p+q

u = (2Fp(s-p)+s)

u = 2Fps-2Fp^2+s

Điều này dẫn đến một bậc hai trong p

-2Fp^2+2Fsp+s-u = 0

p = (Fs - sqrt(F(Fs^2 + 2s - 2u)))/(2F)

q = sp

Bây giờ có thể tính được hai số nguyên tố xấp xỉ 512 bit.

N = (2Fp+1)(2Fq+1)

Lưu ý rằng bao thanh toán N-1 vẫn có thể mất một khoảng thời gian đáng kể yêu cầu GNFS hoặc CADO-NFS, nhưng vẫn dễ dàng hơn đáng kể so với tích 1024 bit của hai số nguyên tố 512 bit.