Thông báo trước rằng tôi không phải là người theo chủ nghĩa xác suất và câu trả lời của bạn thực sự không bao gồm nhiều mật mã, vì vậy có thể phù hợp hơn khi hỏi một người xác suất ở đâu đó (chẳng hạn như trên math.se hoặc một cái gì đó).
Như đã đề cập trong các ý kiến, điều này là dễ dàng sai. Để cho $P_n, Q_n$ cả hai đều được phân phối như bất kỳ phân phối đối xứng nào và để $R_n\sim \{-1,1\}$ được thống nhất.
Xác định các phân phối chung $P_n\lần R_n$ và $Q_n\times R_n$ như sau --- biên trên cả hai $X$ và $Y$ được cố định như trên, nhưng
$$\Pr[(P_n\times R_n)\in E] = \Pr[(P_n\times R_n)\in E\mid R_n = b]\Pr[R_n = b].$$
Bây giờ, khi chúng ta đang thảo luận về tính đối xứng, hãy viết $X = X_1\cốc X_{-1}$.
Giả sử phép đối xứng hoán đổi hai thành phần này.
Bây giờ chúng tôi xác định các phân phối có điều kiện
$$\Pr[(P_n\times R_n)\in E\mid R_n = b] = \begin{cases}0 & E\cap X_{b}\neq \emptyset \
2\Pr[P_n(E_X)]&\text{else}
\end{cases}.$$
Điều này có nghĩa là phân phối có điều kiện được xác định sao cho một biến ngẫu nhiên với $R_n = b$ trong $X_b$, ví dụ. các thành phần $P_n, R_n$ là "hoàn toàn tương quan". Vì $Q_n$, làm tương tự, nhưng đảo ngược vai trò của $X_1, X_{-1}$, ví dụ. có $Q_n, R_n$ là "hoàn toàn chống tương quan".
Thật đơn giản khi thấy các biến ngẫu nhiên này có biên giống hệt nhau, và do đó hoàn toàn không thể phân biệt được (và cũng không thể phân biệt được về mặt thống kê).
Nó là Mà còn đơn giản để thấy rằng các bản phân phối chung $P_n\lần R_n$ và $Q_n\times R_n$ có hỗ trợ rời rạc, vì vậy
$$0 = \Delta(P_n, Q_n) \leq \Delta(P_n\times R_n, Q_n\times R_n) = 1,$$
và do đó chúng không thể phân biệt một cách ngẫu nhiên về mặt thống kê.
Lưu ý rằng nếu bạn giả sử $P_n, R_n$ độc lập (bằng ngôn ngữ của bạn $E$ yếu tố như $E_X\lần E_Y$ Tôi nghĩ), câu trả lời dễ dàng đúng.
Là một bản phác thảo của bằng chứng, theo bất đẳng thức xử lý dữ liệu, chúng ta có điều đó $\Delta(P_n, Q_n) \geq \Delta(f(P_n), f(Q_n))$ cho bất kỳ ngẫu nhiên $f$, bao gồm $f : X\đến X\lần Y$ mẫu đó $R_n$ một cách độc lập, và kết quả đầu ra $f(x) = (x, R_n)$.
Đây không phải là những gì bạn đã hỏi, nhưng nó vẫn hữu ích cần lưu ý.
