Điểm:1

không thể phân biệt "ngẫu nhiên" so với không thể phân biệt "xác định"

lá cờ cn

Để cho $X$ là một không gian đo được. Cho mỗi $n\in\mathbb N$, để cho $P_n$$Q_n$ là xác suất trên $X$. chúng tôi nói rằng $(P_n)_{n\in\mathbb N}$$(Q_n)_{n\in\mathbb N}$thống kê không thể phân biệt iff cho tất cả các tập hợp có thể đo lường $E\subseteq X$, chức năng \begin{phương trình} n\mapsto |P_n(E) - Q_n(E)| \end{phương trình} không đáng kể.

Nhưng nếu chúng ta cho phép "ngẫu nhiên" thì sao? Hãy nói rằng $(P_n)_{n\in\mathbb N}$$(Q_n)_{n\in\mathbb N}$ngẫu nhiên thống kê không thể phân biệt (Tôi vừa nghĩ ra thuật ngữ này) iff cho mọi không gian đo được $Y$, tất cả họ xác suất $(R_n)_{n\in\mathbb N}$ trên $Y$, và tất cả các tập đo được $E\subseteq X\times Y$, chức năng \begin{phương trình} n\mapsto |(P_n\times R_n)(E) - (Q_n\times R_n)(E)| \end{phương trình} không đáng kể.

Tính không thể phân biệt thống kê ngẫu nhiên ngụ ý rõ ràng về tính không thể phân biệt thống kê. Nhưng điều ngược lại có đúng không?

lá cờ us
Bản sao có thể có của https://crypto.stackexchange.com/questions/73108/statistical-closeness-implies-computational-indistinguishability
Mark avatar
lá cờ ng
Theo cách đọc của tôi, có vẻ như bạn đang hỏi rằng nếu hai phân phối xác suất có các biên gần nhau, điều đó có nghĩa là các phân phối đó gần nhau (điều này rõ ràng là sai). Tôi có hiểu nhầm gì không?
kelalaka avatar
lá cờ in
[Đăng chéo với math.se](https://math.stackexchange.com/q/4403008/338051)
Điểm:2
lá cờ ng

Thông báo trước rằng tôi không phải là người theo chủ nghĩa xác suất và câu trả lời của bạn thực sự không bao gồm nhiều mật mã, vì vậy có thể phù hợp hơn khi hỏi một người xác suất ở đâu đó (chẳng hạn như trên math.se hoặc một cái gì đó).

Như đã đề cập trong các ý kiến, điều này là dễ dàng sai. Để cho $P_n, Q_n$ cả hai đều được phân phối như bất kỳ phân phối đối xứng nào và để $R_n\sim \{-1,1\}$ được thống nhất. Xác định các phân phối chung $P_n\lần R_n$$Q_n\times R_n$ như sau --- biên trên cả hai $X$$Y$ được cố định như trên, nhưng

$$\Pr[(P_n\times R_n)\in E] = \Pr[(P_n\times R_n)\in E\mid R_n = b]\Pr[R_n = b].$$

Bây giờ, khi chúng ta đang thảo luận về tính đối xứng, hãy viết $X = X_1\cốc X_{-1}$. Giả sử phép đối xứng hoán đổi hai thành phần này. Bây giờ chúng tôi xác định các phân phối có điều kiện

$$\Pr[(P_n\times R_n)\in E\mid R_n = b] = \begin{cases}0 & E\cap X_{b}\neq \emptyset \ 2\Pr[P_n(E_X)]&\text{else} \end{cases}.$$

Điều này có nghĩa là phân phối có điều kiện được xác định sao cho một biến ngẫu nhiên với $R_n = b$ trong $X_b$, ví dụ. các thành phần $P_n, R_n$ là "hoàn toàn tương quan". Vì $Q_n$, làm tương tự, nhưng đảo ngược vai trò của $X_1, X_{-1}$, ví dụ. có $Q_n, R_n$ là "hoàn toàn chống tương quan".

Thật đơn giản khi thấy các biến ngẫu nhiên này có biên giống hệt nhau, và do đó hoàn toàn không thể phân biệt được (và cũng không thể phân biệt được về mặt thống kê). Nó là Mà còn đơn giản để thấy rằng các bản phân phối chung $P_n\lần R_n$$Q_n\times R_n$ có hỗ trợ rời rạc, vì vậy

$$0 = \Delta(P_n, Q_n) \leq \Delta(P_n\times R_n, Q_n\times R_n) = 1,$$

và do đó chúng không thể phân biệt một cách ngẫu nhiên về mặt thống kê.

Lưu ý rằng nếu bạn giả sử $P_n, R_n$ độc lập (bằng ngôn ngữ của bạn $E$ yếu tố như $E_X\lần E_Y$ Tôi nghĩ), câu trả lời dễ dàng đúng. Là một bản phác thảo của bằng chứng, theo bất đẳng thức xử lý dữ liệu, chúng ta có điều đó $\Delta(P_n, Q_n) \geq \Delta(f(P_n), f(Q_n))$ cho bất kỳ ngẫu nhiên $f$, bao gồm $f : X\đến X\lần Y$ mẫu đó $R_n$ một cách độc lập, và kết quả đầu ra $f(x) = (x, R_n)$. Đây không phải là những gì bạn đã hỏi, nhưng nó vẫn hữu ích cần lưu ý.

Đăng câu trả lời

Hầu hết mọi người không hiểu rằng việc đặt nhiều câu hỏi sẽ mở ra cơ hội học hỏi và cải thiện mối quan hệ giữa các cá nhân. Ví dụ, trong các nghiên cứu của Alison, mặc dù mọi người có thể nhớ chính xác có bao nhiêu câu hỏi đã được đặt ra trong các cuộc trò chuyện của họ, nhưng họ không trực giác nhận ra mối liên hệ giữa câu hỏi và sự yêu thích. Qua bốn nghiên cứu, trong đó những người tham gia tự tham gia vào các cuộc trò chuyện hoặc đọc bản ghi lại các cuộc trò chuyện của người khác, mọi người có xu hướng không nhận ra rằng việc đặt câu hỏi sẽ ảnh hưởng—hoặc đã ảnh hưởng—mức độ thân thiện giữa những người đối thoại.