Xác minh chữ ký số RSA

Tôi đang cố gắng tìm hiểu về chữ ký số RSA và có câu hỏi về quy trình xác minh.

Sự hiểu biết của tôi về việc thiết lập là như sau:

Người ký chọn hai số nguyên tố bí mật $p$ và $q$, và một số mũ xác minh $e$ thỏa mãn $\gcd(e,(p-1)(q-1))=1$, sau đó xuất bản $N=pq$ và $e$.

Người ký tính số mũ ký bí mật $d$ như vậy mà $$de\equiv1\pmod{(p-1)(q-1)},$$

ký tài liệu $D$ bằng máy tính $$S\equiv D^d\pmod N,$$ và gửi $D$ và $S$ đến người xác minh.

Đây là những gì tôi đang gặp rắc rối.

Tôi đọc rằng trình xác minh tính toán $$S^e \pmod N$$ và so sánh kết quả với $D$. Nếu kết quả thực sự bằng $D$, thì người xác minh tin rằng chữ ký là hợp lệ. Câu hỏi của tôi là, tại sao điều sau đây được cho là trường hợp? $$S^e\equiv (D^d)^e\equiv D \pmod{N}$$

Tôi thấy rằng nếu $D$ và $N$ là các số nguyên tố cùng nhau thì có thể sử dụng công thức Euler. Nhưng điều đó có nghĩa là chúng tôi chỉ có thể ký một tài liệu $D$ tương đối nguyên tố với mô đun $N$?