Điều làm bạn bối rối là bạn xem xét nhân bản vô tính (trong ký hiệu của bạn $x\cdot P$) như phép nhân trên một trường hữu hạn. Thật;
Các nhân bản vô tính trên đường cong Elliptic $[x]P$ thực sự có nghĩa là thêm $P$ chính nó $x$-lần. Đây là cách tính điểm công khai, từ khóa riêng, điểm trước là một điểm trên đường cong, điểm sau là một số nguyên. Chính thức hơn;
để cho $x \in \mathbb{N}\dấu gạch chéo ngược\{ 0\}$
\begin{align}
[x]:& E \đến E\
&P\mapsto [x]P=\underbrace{P+P+\cdots+P}_{\text{$x$ times}}.\end{align}
đây $P+P =[2]P\;(=2\cdot P)$ có nghĩa là những cộng điểm và có các công thức đặc biệt suy ra từ quy tắc tiếp tuyến-hợp âm. Với phép cộng điểm này, đối với đường cong được xác định trên một trường hữu hạn, các điểm tạo thành một nhóm abel hữu hạn và với phép nhân vô hướng, chúng ta có một $Z$-mô-đun.
Khi chúng ta nói về đã cho $[x]P$ và $P$ Phát hiện $x$ là bài toán logarit rời rạc trên các đường cong Elliptic. Trên một số đường cong, thật dễ dàng, tuy nhiên, trên secp256k1 thì không dễ dàng và cuộc tấn công cổ điển có chi phí $\mathcal{O}(\sqrt{n}$) trong khi $n = đơn hàng(P)$ với Pollard's Rho. Cuộc tấn công được triển khai tốt nhất đã sử dụng một phiên bản song song của thuật toán kangaroo của Pollard trên $2^{114}$ khoảng.
Thuật toán Shor (nếu từng được thực hiện với kích thước thực và tất cả các vấn đề được giải quyết) có thể giải logarit rời rạc trong thời gian đa thức. Một ước tính của cuộc tấn công có thể được tìm thấy ở đây
Trên thực tế, người ta không cần $y$ phối hợp để tấn công. Có thể có nhiều nhất hai $y$ các giá trị đã cho $x$ miễn là $x$ là tọa độ của điểm thỏa mãn phương trình đường cong.
ECDSA tiêu chuẩn, mặt khác, một số vấn đề thực tế khác ngoài thuật toán tìm chu kỳ Rho và Shor của Pollard.
Lặp lại nonce: khóa riêng bị rò rỉ ngay lập tức.
Xu hướng trên trình tạo số ngẫu nhiên cho nonce, các cuộc tấn công mạng sẽ tiết lộ khóa. Ngay cả sự thiên vị nhỏ bé;
Ngắn ngẫu nhiên, vâng đã tồn tại trong Bitcoin;
Chúng tôi có một sự thay thế tốt hơn, ECDSA xác định của Thomas Pornin và Bitcoin và những thứ khác bắt đầu được sử dụng.
