Bảo mật hoàn hảo - định nghĩa này có đúng không?

Tôi có định nghĩa này:

mỗi bản mã đều có xác suất như nhau đối với một bản rõ và khóa đã cho chọn ngẫu nhiên

Tôi biết rằng bảo mật hoàn hảo có thể được định nghĩa là $$\forall c \in \mathcal{C} \ \forall m_1,m_2\in \mathcal{M} \ Pr[Enc_k(m_1)=c \ for \ k \ random]=Pr[Enc_k(m_2)=c \ cho \ khóa \ ngẫu nhiên]$$

Là những tương đương?

Điều dễ dàng nhất để làm là bằng cách nào đó chỉ ra rằng định nghĩa đầu tiên bao hàm định nghĩa thứ hai và ngược lại. Mặc dù tôi có vấn đề với việc hiểu những điều kiện này. Nếu tôi viết lại định nghĩa đầu tiên theo cách toán học hơn: Để cho $m \in \mathcal{M}$ $$ \forall c_1, c_2\in \mathcal{C} \ Pr[Enc_k(m)=c_1]= Pr[Enc_k(m)=c_2] $$

Tuy nhiên, điều này đã không giúp tôi nhiều. Suy nghĩ thứ hai của tôi là một cái gì đó dọc theo dòng: nếu xác suất cho mọi mật mã bằng nhau thì nó phải bằng $\frac{1}{|\mathcal{C}|}$ (Tôi không thể tưởng tượng nó có thể có bất kỳ giá trị nào khác). Nếu đây là trường hợp của mọi thông báo, thì nó cũng thỏa mãn định nghĩa thứ hai vì mọi xác suất đều có cùng giá trị.

Tôi không chắc về lý do này, điều này ổn hay hoàn toàn sai?