Có bất kỳ phương thức mã hóa nào $f,g,h$ với $f(g(h(x)))=h(g(f(x)))=g(h(f(x)))$ và tìm kiếm $ x$ cho $c=f^ig^jh^k(x)$ khó hơn $O(i+j+k)$?

Để cho $N$ là sản phẩm của hai số nguyên tố mạnh lớn i.e. $N=pq$, $p=2r+1$, $q=2s+1$ với $p$, $q$, $r$ và $s$ tất cả nguyên tố. Chúng tôi cũng yêu cầu 3 số là gốc nguyên thủy cho cả hai $r$ và $s$ (với mod gốc nguyên thủy $r$ quảng cáo $s$ chúng ta có thể làm điều này với định lý phần dư của Trung Quốc). Ta sẽ lấy ba số này là 3, 5 và 7 bên dưới. Chúng tôi cho rằng $N$ rất khó để phân tích và giải các logarit rời rạc modulo $N$ cũng khó.

Để cho $x$ là bất kỳ hình vuông trong $\mathbb Z/N\mathbb Z$ (ví dụ: chọn một phần tử ngẫu nhiên và bình phương nó). Bây giờ hãy để $f(x)=x^3\mod N$, $g(x)=x^5\mod N$ và $h(x)=x^7\mod N$. Ghi chú $f(g(h(x)))=x^{105}\mod N$ và tương tự cho các thứ tự khác. Có một mối quan hệ tương tự của các nghịch đảo (mặc dù việc tính toán nghịch đảo cũng khó như giải mã RSA).

Tính toán nhanh $f^ig^jh^k(x)$ sẽ cho phép chúng tôi mã hóa RSA bước khổng lồ được cho là khó trừ khi chúng tôi biết các yếu tố của $N$.

Các ứng dụng lặp đi lặp lại cuối cùng $f$, $g$ và $h$ tạo ra một chu kỳ dài $\mathrm{lcm}((r-1),(s-1))$ trừ khi $x$ là một trong hai $r$Thần sấm $s$modulo công suất $N$ (điều này khó xảy ra).