"Có thể có một ánh xạ đồng cấu từ $\mathbb F_{p^n}$
đến $\mathbb Z_{p^n}$ bảo toàn cả toán tử cộng và nhân?"
Khác với sự đẳng tích khi $n=1$, chỉ có ánh xạ rất nhàm chán gửi mọi thứ về 0. Hãy xem xét đơn vị nhân của $\mathbb F_{p^n}$. Chúng tôi viết cái này là 1 và xem xét tính đồng hình giả định của chúng tôi $\phi$. Chúng tôi thấy rằng bằng cách thêm cộng $k$ bản sao của 1, cho bất kỳ số nguyên nào $k$ chúng ta có $\phi(1+\cdots+1)=k\phi(1)\mod {p^n}$ và đặc biệt với $k=p$ chúng ta thấy rằng $p\phi(1)=\phi(0)=0$ để có thể $\phi(1)=cp^{n-1}$ cho một số $1\le c\le p$. Hơn nữa, bằng phép nhân ta có $\phi(1)=\phi(1\cdot 1)=\phi(1)\phi(1)$ để có thể $\phi(1)=1$ hoặc $0$. Chúng tôi kết luận rằng $c=p$ và $\phi(1)=0$ (trừ trường hợp $n=1$). Hơn nữa, đối với bất kỳ $\alpha\in\mathbb F_{p^n}$ $\phi(\alpha)=\phi(1\cdot\alpha)=\phi(1)\phi(\alpha)=0$.
"Hoặc nếu chúng ta nới lỏng yêu cầu, liệu chúng ta có thể có một ánh xạ đồng cấu từ nhóm nhân $\mathbb F_{p^n}^\times$ đến $\mathbb Z_{p^n}^\times$ cái nào bảo toàn phép nhân?"
Chỉ bớt nhàm chán hơn một chút. Lưu ý rằng $|\mathbb F_{p^n}^\times|=p^n-1$ và $|\mathbb Z_{p^n}^\times|=p^n-p^{n-1}$. Kích thước của hình ảnh của bất kỳ phép đồng hình nào phải chia GCD của hai cái này là $p-1$. Chúng tôi thấy rằng hình ảnh phải là một nhóm con của $(p-1)$gốc rễ của 1 trong $\mathbb Z_{p^n}$. Bây giờ hãy chọn bất kỳ trình tạo cấp số nhân nào của $\mathbb F_{p^n}^\times$ gọi cái này $\alpha$. có chính xác $p-1$ nhóm đồng hình tùy thuộc vào cái nào trong số $(p-1)$gốc thứ 1 bằng $\phi(\alpha)$. Hạt nhân sẽ là $\ell$quyền hạn trong $\mathbb F_{p^n}^\times$ ở đâu $\ell|(p-1)$ là cấp số nhân của $\phi(\alpha)$ Trong $\mathbb Z_{p^n}^\times$.
