Giả sử bạn muốn sử dụng $a$ trong hai ràng buộc như bạn đã viết. Bạn muốn giả định rằng $l(x_1) = a$ và $l(x_2) = a$, ở đâu $x_1$ và $x_2$ là các chỉ số của hai ràng buộc. Nhưng mà $l(x)$ được tạo ra bởi câu tục ngữ, và họ chắc chắn có thể đã chọn một $l(x)$ đánh giá thành hai khác biệt giá trị tại $x_1$ và $x_2$. Sau đó, về cơ bản bạn có hai biến độc lập thay vì sử dụng $a$ hai lần. Điều này được hiển thị ở đầu trang 36 trong PDF được liên kết.
Cho đến thời điểm đó, mọi ràng buộc đều được xác minh độc lập. Bằng cách này, tôi có nghĩa là $l(x_i)*r(x_i) - o(x_i) = 0$ tại mỗi chỉ số $x_i$, được kiểm tra bằng cách đảm bảo $(x-x_i)$ là nghiệm của đa thức. Bây giờ, chúng ta cần một cách để xác minh sự bằng nhau của các biến giữa hai ràng buộc khác nhau.Nói cách khác, bằng cách nào đó thiết lập những thứ như $l(x_1) = l(x_2)$ giữa các chỉ số khác nhau.
Cách này được thực hiện bằng cách hạn chế hơn nữa cách người tục ngữ có thể xây dựng các đa thức (ví dụ: $l(x)$), vì vậy họ không thể nội suy bất kỳ giá trị nào họ thích. Một cách để làm điều này là đưa ra các đa thức khác nhau cho câu tục ngữ $l_a(x)$ đánh giá thành 1 bất cứ khi nào $a$ được sử dụng và 0 ở mọi nơi khác. Ví dụ, một đa thức trong đó $l_a(x_1) = l_a(x_2) = 1$, và bằng 0 ở mọi nơi khác. Sau đó, họ có thể chỉ cần nhân số này với $a$ để thiết lập cùng một giá trị của $a$ trong tất cả các vị trí nó được sử dụng. Để buộc người tục ngữ sử dụng điều này, chúng tôi lại mã hóa nó và cung cấp $\alpha$ phiên bản chuyển đổi:
$$g^{l_a(x)}, g^{\alpha l_a(x)}$$
(như đã được thực hiện nhiều lần trước đây). Người tục ngữ sau đó có thể nâng từng người trong số này lên sức mạnh của $a$ để đặt giá trị đó ở mọi nơi.
Nếu chúng ta có một cặp như vậy cho một biến khác $d$:
$$g^{l_d(x)}, g^{\alpha l_d(x)}$$
Sau đó, người tục ngữ có thể đặt cả hai $a$ và $d$ và sau đó nhân các đa thức đã mã hóa với nhau (tương ứng với việc cộng các đa thức ở các số mũ lại với nhau).
Điều tương tự cũng được thực hiện cho $R(x)$ và $O(x)$.
Còn một nhược điểm nữa, được giải quyết trong phần 4.9.3, cho phép người tục ngữ thêm những thứ bổ sung vào đa thức của chúng bằng cách nhân với một đa thức khác $g^1$ và $g^{\alpha}$. Điều này được khắc phục bằng cách giới thiệu một sự thay đổi bí mật khác bằng cách $\gamma$.
