Sản phẩm trực tiếp bên trong của nhóm các phần tử khả nghịch trong mô đun Paillier

Để cho $g$ được như vậy mà $g\equiv 1\pmod {p^2}$ và $g\equiv -1\pmod {q^2}$, có một giải pháp duy nhất cho điều này theo định lý phần dư Trung Quốc (và giải pháp này không phải là 0, 1 hoặc -1). Chúng ta thấy rằng $\langle g\rangle$ là nhóm tuần hoàn bậc 2 vì $g^2\equiv 1\pmod {p^2}$ và $g^2\equiv 1\pmod {q^2}$ ngụ ý rằng $g^2\equiv 1\pmod {n^2}$.

Tương tự như vậy hãy để $h$ được như vậy mà $h\equiv -1\pmod {p^2}$ và $h\equiv 1\pmod {q^2}$, có một giải pháp duy nhất cho điều này bằng định lý phần dư Trung Quốc. Chúng ta thấy rằng $\langle h\rangle$ cũng là một nhóm tuần hoàn bậc 2, nhưng các nhóm khác nhau.

Lưu ý rằng $g=-h$ và ngược lại.

Nhóm $\mathbb G_2$ có thể được thực hiện như một trong hai $\langle g\rangle$ hoặc $\langle h\rangle$.