Phục hồi nhân chứng trong Giai đoạn ngoại tuyến SPDZ

Tôi hiện đang đọc SPDZ: https://eprint.iacr.org/2011/535.pdf. Giao thức MPC sử dụng lược đồ mã hóa $\operatorname{Enc}_{\operatorname{pk}}(x,r)$ dựa trên Brakerski, V. Vaikuntanathan (Gentry) (e.g. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-22792-9_29) trong giai đoạn ngoại tuyến. Đây $\operatorname{pk}$ là khóa công khai, $x$ thông điệp, $r$ tính ngẫu nhiên được sử dụng trong mã hóa. Có cách nào (hợp lý nhanh) để phục hồi $x$ và $r$ từ $\operatorname{Enc}_{\operatorname{pk}}(x,r)$ trao chìa khóa bí mật $\operatorname{sk}$. Ví dụ. Bên 1 có $\operatorname{sk}$, Bên 2 thi công và phát sóng $\operatorname{Enc}_{\operatorname{pk}}(x,r)$, Bên 1 muốn phục hồi $x,r$. Lưu ý rằng Bên 1 ngay lập tức nhận được $x\!\! \mod p$ (vì $p$ mô đun bản rõ, $q$ mô đun bản mã). Nó cũng sẽ hữu ích để tìm một số $(x',r')$ với $\|x'\|_{\infty}\leq B_{plain}$, $\|r'_i\|_{\infty}\leq B_{rand}$ với giả định rằng bản gốc $x,r$ thỏa mãn các giới hạn này $\|x\|_{\infty}\leq B_{plain}$, $\|r_i\|_{\infty}\leq B_{rand}$. ($r=(r_1,r_2,r_3)=(u,v,w)$). Mọi suy nghĩ đều được đánh giá cao - cảm ơn bạn trước.