Điểm:2

Tại sao tập hợp các điểm xoắn r lại đẳng cấu với $\mathbb{Z}_r \times \mathbb{Z}_r$

lá cờ fr

tôi đang đọc "Về việc triển khai các hệ thống mật mã dựa trên ghép nối".

Nó nói rằng $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ đẳng cấu với tích của $\mathbb{Z}_r$ với chính nó. $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ là tập hợp của $r$-điểm xoắn, có nghĩa là tất cả các điểm, $P$ ở đâu $rP = O$ (Tôi nghĩ).

Vâng. Hãy kiểm tra điều này với $r = 2$. Chúng tôi biết, 4 giải pháp là: $\{O, (a_0, 0), (a_1, 0), (a_2, 0)\}$ ở đâu $a_n$$n$-thứ căn bậc ba $x^3 + ax + b = 0$.

Nhưng mà $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$$\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$.

Tôi đoán đây là đẳng cấu vì có 4 phần tử trong mỗi tập hợp. Nhưng ... tôi không chắc làm thế nào để nói rằng có một đẳng cấu sẽ thêm bất kỳ giá trị nào?

Ví dụ: Thay vào đó, chúng ta có thể chỉ nói $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$$r^2$ phần tử (là kích thước của $\mathbb{Z}_r \times \mathbb{Z}_r$).

Điểm:1
lá cờ gb

$E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ là tập hợp của $r$-điểm xoắn, có nghĩa là tất cả các điểm, $P$ ở đâu $rP = O$ (Tôi nghĩ).

Chính xác.

Tôi đoán đây là đẳng cấu vì có 4 phần tử trong mỗi tập hợp. Nhưng ... tôi không chắc làm thế nào để nói rằng có một đẳng cấu sẽ thêm bất kỳ giá trị nào?

Ví dụ: Thay vào đó, chúng ta có thể chỉ nói $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$$r^2$ phần tử (là kích thước của $Z_r \times Z_r$).

Hiểu cấu trúc này là khá quan trọng đối với rất nhiều ứng dụng trong mật mã. Ví dụ, nó rất cơ bản trong mật mã dựa trên isogeny. Lý do cho điều này là bởi vì là sản phẩm của hai nhóm tuần hoàn, nó được tạo ra bởi hai điểm (độc lập) $P, Q$ trật tự $r$. Đó là, mọi điểm trong xoắn có thể được viết là $[a]P + [b]Q$ cho một số hệ số $a,b$. Ví dụ, so sánh điều này với mật mã đường cong elip cổ điển, nơi chúng tôi làm việc trong một nhóm tuần hoàn và mọi điểm có thể được viết là $[x]G$ cho một máy phát điện duy nhất $G$. Không có điểm thứ tự $r^2$ Trong $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$, ngay cả khi bản thân nhóm có thứ tự $r^2$.

Do cấu trúc này nên có $r+1$ phân nhóm thứ tự $r$ trong nhóm con xoắn. Điều này rất quan trọng trong mật mã dựa trên isogeny bởi vì mỗi nhóm con đó tạo thành hạt nhân của một isogeny khác với đường cong $E$.

Nghiên cứu cấu trúc của $p$nhóm con -xoắn khi $p$ là đặc điểm của trường (có vẻ như bạn đã gọi $k$ - Tôi nghi ngờ bạn đã viết $q$$k$ sai) cũng phân loại các đường cong elip thành các đường cong "thông thường" và "siêu dị".

Để biết thêm thông tin, hãy xem "The Arithmetic of Elliptic Curves" của Silverman, phần III, Hệ quả 6.4.

Trong mật mã dựa trên ghép cặp, cấu trúc này cũng cực kỳ quan trọng. Một tài liệu tham khảo tốt để biết thêm thông tin trong lĩnh vực này là "Ghép đôi cho người mới bắt đầu" của Craig Costello. (Xem chương 4 đặc biệt).

Foobar avatar
lá cờ fr
Cảm ơn vì lời giải thích. Tôi đang xem cuốn "Ghép đôi cho người mới bắt đầu" của Craig Costello và anh ấy sử dụng ký hiệu "|" một số tiền kha khá. Ví dụ: $r\, |\, 105$.Bạn có biết nó có nghĩa là gì không?
Morrolan avatar
lá cờ ng
Điều đó có thể sẽ biểu thị mối quan hệ "chia". Đó là $x | y \Leftrightarrow y = kx, k \in \mathbb{Z}$.

Đăng câu trả lời

Hầu hết mọi người không hiểu rằng việc đặt nhiều câu hỏi sẽ mở ra cơ hội học hỏi và cải thiện mối quan hệ giữa các cá nhân. Ví dụ, trong các nghiên cứu của Alison, mặc dù mọi người có thể nhớ chính xác có bao nhiêu câu hỏi đã được đặt ra trong các cuộc trò chuyện của họ, nhưng họ không trực giác nhận ra mối liên hệ giữa câu hỏi và sự yêu thích. Qua bốn nghiên cứu, trong đó những người tham gia tự tham gia vào các cuộc trò chuyện hoặc đọc bản ghi lại các cuộc trò chuyện của người khác, mọi người có xu hướng không nhận ra rằng việc đặt câu hỏi sẽ ảnh hưởng—hoặc đã ảnh hưởng—mức độ thân thiện giữa những người đối thoại.