$E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ là tập hợp của $r$-điểm xoắn, có nghĩa là tất cả các điểm, $P$ ở đâu $rP = O$ (Tôi nghĩ).
Chính xác.
Tôi đoán đây là đẳng cấu vì có 4 phần tử trong mỗi tập hợp. Nhưng ... tôi không chắc làm thế nào để nói rằng có một đẳng cấu sẽ thêm bất kỳ giá trị nào?
Ví dụ: Thay vào đó, chúng ta có thể chỉ nói $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ có $r^2$ phần tử (là kích thước của $Z_r \times Z_r$).
Hiểu cấu trúc này là khá quan trọng đối với rất nhiều ứng dụng trong mật mã. Ví dụ, nó rất cơ bản trong mật mã dựa trên isogeny. Lý do cho điều này là bởi vì là sản phẩm của hai nhóm tuần hoàn, nó được tạo ra bởi hai điểm (độc lập) $P, Q$ trật tự $r$. Đó là, mọi điểm trong xoắn có thể được viết là $[a]P + [b]Q$ cho một số hệ số $a,b$. Ví dụ, so sánh điều này với mật mã đường cong elip cổ điển, nơi chúng tôi làm việc trong một nhóm tuần hoàn và mọi điểm có thể được viết là $[x]G$ cho một máy phát điện duy nhất $G$. Không có điểm thứ tự $r^2$ Trong $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$, ngay cả khi bản thân nhóm có thứ tự $r^2$.
Do cấu trúc này nên có $r+1$ phân nhóm thứ tự $r$ trong nhóm con xoắn. Điều này rất quan trọng trong mật mã dựa trên isogeny bởi vì mỗi nhóm con đó tạo thành hạt nhân của một isogeny khác với đường cong $E$.
Nghiên cứu cấu trúc của $p$nhóm con -xoắn khi $p$ là đặc điểm của trường (có vẻ như bạn đã gọi $k$ - Tôi nghi ngờ bạn đã viết $q$ và $k$ sai) cũng phân loại các đường cong elip thành các đường cong "thông thường" và "siêu dị".
Để biết thêm thông tin, hãy xem "The Arithmetic of Elliptic Curves" của Silverman, phần III, Hệ quả 6.4.
Trong mật mã dựa trên ghép cặp, cấu trúc này cũng cực kỳ quan trọng. Một tài liệu tham khảo tốt để biết thêm thông tin trong lĩnh vực này là "Ghép đôi cho người mới bắt đầu" của Craig Costello. (Xem chương 4 đặc biệt).
