Mã tuần hoàn là iđêan của vành thương

Tôi đang tìm đại số đằng sau các mã tuần hoàn hơi phức tạp. Điểm khởi đầu là đủ dễ dàng: $C\subseteq \mathbb F_q^n$ là tuần hoàn nếu bất kỳ sự dịch chuyển tuần hoàn nào của một từ mã $c\in \mathbb F_q^n$ vẫn còn trong $C$. Sau đó, tôi gặp phải vấn đề này: mã tuần hoàn tương ứng với lý tưởng của $$\mathbb F_q[x]/(x^n-1). $$ Bây giờ, tôi có một số nền tảng về đại số trừu tượng, chủ yếu là từ lý thuyết nhóm. Tôi có thể nhận ra một vành và một thương, nhưng tôi gặp khó khăn khi nhìn thấy sự tương đương. bất cứ ai có thể giải thích nó cho tôi trong rất đơn giản điều kiện?

Tính chất lý tưởng mang lại sự tương đương của đa thức khi chia modulo $(x^n-1).$ $$p(x) \equiv q(x) \text{ iff } p(x) - q(x) = 0 \pmod{(x^n-1)}$$

Suy nghĩ về phép nhân với $x$ với tư cách là người điều hành ca, $$c(x)=c_0+c_1 x+\cdots+ c_{n-1} x^{n-1}$$ điều này nói rằng sau khi $n$ thay đổi theo chu kỳ, bạn sẽ nhận được cùng một đa thức. Đây $c(x)$ đại diện cho từ mã $$(c_0,c_1,\ldots,c_{n-1})$$

Chỉnh sửa: Cảm ơn vì nhận xét hữu ích, @JyrkiLahtonen:

Lưu ý rằng $$ x c(x)=c_{n-1}+c_0 x+ c_1 x^2+\cdots+c_{n-2} x^{n-1} +c_{n-1}(x^n-1)\ tương đương $$ $$ \equiv c_{n-1}+c_0 x+ c_1 x^2+\cdots+c_{n-2} x^{n-1} \pmod{x^n-1} $$ giải thích tại sao nhân với $x$ trong vành thương $\mathbb{F}_q[x]/(x^nâ1)$ chính xác tương ứng với sự thay đổi theo chu kỳ $$ (c_0,c_1,\ldots,c_{n-1})\mapsto (c_{n-1},c_0,c_1,\ldots,c_{n-2}). $$

Nhớ lại rằng một iđêan của một vành là một tập hợp các phần tử của vành, sao cho (đây không phải là danh sách đầy đủ các thuộc tính, chỉ là những thuộc tính quan trọng cho câu trả lời của tôi):

1. Chúng ta có thể cộng hai phần tử bất kỳ trong lý tưởng với nhau và lấy lại một phần tử trong lý tưởng (đóng dưới phép cộng).
2. Chúng ta có thể nhân bất kỳ phần tử nào của lý tưởng với bất kỳ phần tử nào của vành và nhận lại một phần tử trong lý tưởng.

Bây giờ hãy nhớ lại rằng mã tuần hoàn cũng là mã tuyến tính, với thuộc tính bổ sung là dịch chuyển tuần hoàn vẫn tạo ra một từ mã (như bạn đã đề cập trong câu hỏi).

Câu trả lời khác đã giải thích tầm quan trọng của mô đun $(x^n-1)$ trong vòng để đạt được phần tuần hoàn.Bây giờ, thực tế là một mã hợp lệ là một lý tưởng trong vòng thương số này tương ứng với việc nó là một mã tuyến tính - việc cộng hai từ mã lại với nhau sẽ tạo ra một từ mã hợp lệ khác. Cũng cần lưu ý rằng đây là một vành iđêan chính, có nghĩa là mọi iđêan đều có thể được sinh ra bởi một phần tử duy nhất. Phần tử đó chính xác là đa thức sinh $g$ của mã. Thuộc tính #2 ở trên có nghĩa là mọi bội số của trình tạo $g$ bởi một đa thức khác (mod $(x^n-1)$) vẫn cho một từ mã hợp lệ.