Làm cách nào để xác định xem một điểm có ở vô cực trong tọa độ đồng nhất không?

Trong tọa độ đồng nhất, chúng ta có mối quan hệ tương đương là $(X, Y, Z) \sim (\lambda X, \lambda Y, \lambda Z)$ ở đâu $\lambda \neq 0$.

• nếu $Z \neq 0$ sau đó chúng ta có thể chuyển đổi $(X, Y, Z)$ vào điểm affine như $(X/Z,Y/Z)$ ( thông báo rằng $\lambda$s hủy bỏ)

• nếu $Z = 0$ sau đó với định nghĩa lớp tương đương $(\lambda X, \lambda Y, 0)$ tất cả đại diện cho điểm tại vô cực. I E. $$(x,y,0)\sim(2x,2y,0)\sim(-x,-y,0)$$

  Vì vậy, khi nhìn thấy $Z=0$ trong tọa độ xạ ảnh nó là điểm ở vô cực.

Và, nếu điểm affine $(0,0)$ không thỏa mãn phương trình đường cong, tức là $b \neq 0$ trong Weierstrass ngắn $y^2 = x^3 + ax +b$, thì đó là một nơi tốt để lưu trữ điểm ở vô cực trong tọa độ affine mà thông thường nó không có biểu diễn.

Lưu ý rằng nó thường được sử dụng $(X:Y:Z)$ ký hiệu cho các tọa độ đồng nhất mà tôi không sử dụng ở đây.