Có thể chứng minh rằng hai khóa riêng có liên quan?

Giả sử bạn sử dụng Curve25519, có điểm tạo nổi tiếng $G$ tạo thành một nhóm tuần hoàn có kích thước $\ell$. Số vô hướng hợp lệ (khóa riêng) thường được biểu thị dưới dạng chuỗi 32 byte cuối nhỏ không dấu.

Các byte ASCII của $\texttt{chuối}$ được hiểu là một số nhỏ cuối cùng là $107126708920674$.

Nếu bạn nối các byte ASCII của $\texttt{chuối}$ vào khóa riêng 32 byte (256 bit), những gì bạn đang làm về mặt toán học là thêm $x$ ở đâu $x = 107126708920674 \cdot 2^{256}$. Bởi vì khóa riêng này sẽ vượt quá kích thước nhóm $\ell$, thư viện đường cong elip sẽ chỉ chấp nhận nó làm khóa riêng sau khi nó được giảm $mod\ \ell$.

Do đó việc nối với $\texttt{chuối}$ có nghĩa là bạn có $priv_2 = private_1 + x\ mod\ \ell$.

Ai cũng có thể dễ dàng nhận thấy điều đó $pub_2 == pub_1 + x \cdot G$, điều này chỉ có thể xảy ra nếu bạn đã thêm $x$ đến $priv_1$, hoặc thêm vào $x + n \cdot \ell$ cho một số giá trị của $n$.