Giả sử rằng chúng ta có một lược đồ chia sẻ nhiều bí mật và để $I$ là một tập hợp các đại lý. Nói rằng $S$ là không gian của các biến ngẫu nhiên (thống nhất) $s=(s_1,s_2,\cdots,s_I)\in S$ như vậy mà chia sẻ $s_1$ được biết đến $P_1$, $s_2$ được biết đến $P_2$ và như thế.
Theo chia sẻ bí mật của Shamir, giả sử rằng $\mathbb{F}$ là một trường hữu hạn. Lược đồ này sử dụng thực tế chung sau đây về phép nội suy đa thức: nhiều nhất là đa thức bậc $t$ được xác định hoàn toàn bởi $t+1(<I)$ điểm trên đa thức. Ví dụ: hai điểm xác định một đường thẳng và ba điểm xác định một hình parabol. Thực tế chung này không chỉ đúng cho các số thực và số phức, mà còn đúng cho bất kỳ miền đại số nào trong đó tất cả các phần tử khác 0 đều có nghịch đảo cấp số nhân (miền như vậy được gọi là trường vì nó được định nghĩa ở trên trong tình huống chung nhất của nó).
$\textbf{Câu hỏi:}$ Bất kỳ ai cũng có thể đưa ra cấu trúc toán học rõ ràng và bằng chứng về sơ đồ chia sẻ đa bí mật phù hợp trong đó các yêu cầu về tính chính xác và quyền riêng tư về lý thuyết thông tin không được đáp ứng?
Bất kỳ tài liệu tham khảo của các tài liệu đều rất được hoan nghênh! Ngoài ra, thay vì sử dụng công thức đa thức cho các bằng chứng, tôi sẽ đánh giá cao nếu bạn sử dụng $+$ - modulo $q$ hoặc là $\times$ - modulo $q$, ở đâu $q$ là hồng y của trường hữu hạn $\mathbb{F}$.
