Tại sao Thang Montgomery chạy nhanh trên Đường cong Montgomery?

Khi tôi nhìn vào thuật toán Thang Montgomery, tôi không tìm thấy bất cứ thứ gì cụ thể cho đường cong Montgomery. Chúng tôi đang xử lý các điểm mọi lúc, tức là chúng tôi đang thêm hai điểm hoặc nhân đôi một điểm.Đối với tất cả những gì tôi biết, những điểm đó có thể thuộc về bất kỳ dạng đường cong elip nào. Tại sao trong nhiều bài báo, người ta khẳng định rằng bậc thang Montgomery là nhanh nhất trên các đường cong Montgomery? Tôi đang thiếu gì?

Các đường cong elip có thể được biểu diễn dưới các dạng khác nhau. Phương trình cơ bản nhất, trong đó mọi đường cong elip có thể được biểu diễn là phương trình WeierstraÃ:

$$ y^2 = x^3 + ax + b$$

Đối với một đường cong Montgomery, nó phải có thể được biểu diễn dưới dạng sau:

$$ (b)y^2 = x^3 + ax^2 + x$$

Đối với mọi đường cong Montgomery, có thể biến đổi phương trình của nó thành WeierstraÃ, nhưng ngược lại thì không. Do đó, không phải mọi đường cong elip đều là đường cong Montgomery.

Thang Montgomery chỉ có thể được sử dụng bởi các đường cong Montgomery và có thể được xem như là một biến thể Thủ tục kép và Cộng với thời gian không đổi. Các biến thể và thang như vậy tồn tại cho nhiều đường cong elip khác nhau, nhưng nên có các tên khác nhau (ví dụ: xem SafeCurve).