Tôi đang cố gắng giải quyết vấn đề 2.4 trong "Nhập môn mật mã học hiện đại" (tái bản lần 2) để tự nghiên cứu.
Bài toán yêu cầu chứng minh tính bí mật tuyệt đối đó
$$
Pr[M = m | C = c] = Pr[M = m]
$$
ngụ ý
$$
Pr[Enc_k(m) = c] = Pr[Enc_k(m') = c]
$$
Giải pháp diễn ra như sau:
Sửa hai tin nhắn $m, m'$ và một bản mã $c$ xảy ra với xác suất khác không và xem xét phân phối đồng đều trên $\{m, m'\}$. Bí mật hoàn hảo ngụ ý rằng $Pr[M = m | C = c] = \frac{1}{2} = Pr[M = m' | C = c]$ Cho nên
$$
\frac{1}{2} = Pr[M = m| C = c] = \frac{Pr[C = c| M = m] * Pr[M = m]}{Pr[C = c]}
$$
đơn giản hóa thành
$$
\frac{\frac{1}{2}Pr[C = c | M = m]}{Pr[C = c]}
$$
và vì thế $Pr[C = c | M = m]$ = $Pr[Enc_k(m) = c]$ = $Pr[C = c]$. Vì một tính toán tương tự giữ cho $m'$ đồng thời, chúng tôi kết luận rằng $Pr[Enc_k(m) = c]$ = $Pr[Enc_k(m') = c]$
Vấn đề của tôi là giải pháp này giả định không gian tin nhắn là 2, không thể khái quát hóa được.
Có điều gì tôi đang thiếu làm cho giải pháp này có thể khái quát hóa được không?
Chỉnh sửa: Để được rõ ràng, đây là toàn văn vấn đề.
Bổ đề 2.4: Một lược đồ mã hóa (Gen, Enc, Dec) với không gian bản tin $M$ là tuyệt đối bí mật khi và chỉ khi phương trình (2.1) đúng với mọi $m,m' \in M$ và mọi thứ $c \in C$. Trong đó phương trình 2.1 là đẳng thức thứ 2 trong bài viết này.
Bài toán yêu cầu chứng minh "hướng khác", trong trường hợp này có nghĩa là chứng minh bí mật tuyệt đối => đẳng thức 2.1. (Trong SGK đã chứng minh chiều ngược lại).
