Bí mật hoàn hảo cho mật mã Shift

Tôi đã đọc định nghĩa của bí mật hoàn hảo như sau:

Một hệ thống mật mã có tính bí mật hoàn hảo nếu $\Pr(x | y) = \Pr(x)$, cho tất cả $x \in P$ và $y \in C$, ở đâu $P,C$ lần lượt là tập bản rõ và bản mã.

Bây giờ, giả sử có 26 khóa trong Mật mã Shift (SC) với xác suất 1/26. Sau đó, đối với bất kỳ bản rõ nào có phân phối xác suất, SC có độ bí mật hoàn hảo.

Bằng chứng bắt đầu với:

$$\Pr(y) = \sum_{k \in \mathbb{Z}_{26}} \Pr(k)\Pr\left(x = d_k(y)\right)$$

Tôi không hiểu phần này (phân phối xác suất trên $C$) và cách nó được tính toán.

obs.: quy tắc mã hóa cho mật mã dịch chuyển là $e_k(x) = (x+k) \text{ mod 26} (x \in \mathbb{Z_{26}})$.

Cũng lưu ý rằng $K$ là tập hợp các khóa.

Chúng tôi sẽ chứng minh rằng $\Pr[x |y] = \Pr[x]$, trước tiên lưu ý rằng, vì, đối với mỗi phần tử của $P$, ta luôn có một phần tử của $C$, dưới một phím, $\Pr\left(x = d_k(y)\right) = 1$, Vì thế:

$$\Pr(y) = \sum_{k \in \mathbb{Z}_{26}} \Pr(k)\Pr\left(x = d_k(y)\right) = \sum_{k \in \mathbb{Z}_{26}} \Pr(k) $$

Bây giờ, tổng đại diện cho sự kết hợp của tất cả các liên kết của một khóa và giải mã.

Nhưng kể từ khi $e_k(x) = (x+ K) = y \mod 26$, chúng tôi kết luận rằng $\Pr\left(x = d_k(y)\right) = \Pr (y-K) = 1$. Rõ ràng là $\Pr(k) = 1/26$, Vì thế $\Pr(y) = 1/26$.

Hiện nay, $\Pr[y|x] = \Pr[K] = 1/26$, vì đã cho $x$, $y$ là duy nhất (được xác định duy nhất thông qua $K$). Bây giờ bởi Định lý Bayes chúng tôi biết:

$$\Pr[x|y] = \frac{\Pr[x]\Pr[y|x]}{\Pr[y]} = \frac{\Pr[x]\cdot 1/26}{1 /26} = \Pr[x]$$

và điều này kết luận một thực tế rằng Dịch chuyển mật mã mang đến bí mật hoàn hảo.