Cách chứng minh ma trận $m \times m$ khả nghịch tương đương với $LI$ trên $\mathbb{Z_{2}}$?

Tôi đã nghĩ ra một vấn đề nói rằng một $m \times m$ ma trận khả nghịch cũng giống như nói rằng các hàng của nó là LI (độc lập tuyến tính) trên $\mathbb{Z_{2}}$.

Trước hết, tôi muốn biết cách chứng minh điều đó, để chứng minh điều sau:

giả sử $$z_{m+i} = \sum_{j = 0}^{m-1} c_jz_{i+j} \text{ mod 2}$$

ở đâu $(z_1, z_2, ..., z_m)$ bao gồm các vector khởi tạo. Vì $i \geq 1$, Chúng tôi xác định:

$$v_i = (z_i, ..., z_{i+m-1})$$, quan sát rằng $v_1,... ,v_m$ là các hàng của $m \times m$ ma trận.

Nó yêu cầu chứng minh với những thông tin trên:

Bất cứ gì $i \geq 1$, $$v_{m+1} = \sum_{j = 0}^{m-1} c_jv_{i+j} \text{ mod 2}$$

tôi đã tính toán $v_1 = (0, c_0z_1, ..., ), v_2 = (0, c_0z_2, c_0z_2 +c_1z_3, ...)$, tuy nhiên tôi không thấy cách nào để biết cách chứng minh điều đó cho $\alpha_i \in \mathbb{R^*}$ điều đó:

$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 + ... + \alpha_m v_m = 0$$