Vấn đề là khi chúng ta rút gọn phương trình đường cong $y^2=x^3+7$ modulo 7, chúng ta có được phương trình $y^2=x^3$ mà không được tính là một đường cong elip. Thuật ngữ kỹ thuật cho điều này là đường cong hợp lý $y^2=x^3+7$ có "giảm xấu" tại số nguyên tố 7.
Lý do mà các đường cong của hình thức $y^2=x^3$ không phải là đường cong elip là vì chúng không "trơn tru". Điều này có nghĩa là họ có một đặc quyền điểm kỳ dị điều đó không cư xử tốt. Nói đại khái, điều này có nghĩa là các đường tiếp tuyến tại điểm đó không được xác định rõ ràng (điều này đặc biệt có nghĩa là quy tắc nhân đôi trên đường cong không có ý nghĩa tại điểm đó). Trong trường hợp này, điểm kỳ dị là $(0,0)$ mà là một đỉnh. Sự khử (Xấu) đối với loại đường cong này được gọi là phép khử cộng bởi vì có một luật nhóm trên các điểm không kỳ dị, nhưng nó giống như nhóm cộng của trường hữu hạn. Trong trường hợp này, nhóm giống như phép cộng modulo 7. Sự đẳng cấu giữa các nhóm rất dễ dàng: an $t\neq 0$ số nguyên mod 7 đi đến điểm $(t^{-2},t^{-3})\mod 7$ và 0 đi đến điểm ở vô cực. Tương tự, bản đồ nghịch đảo gửi điểm $(x,y)$ đến số nguyên $x/y\mod 7$.
Để giải thích tương đối nhẹ nhàng về định luật nhóm trên các khối đơn lẻ (không trơn), tôi khuyên bạn nên đọc Chương 9 của "Những câu chuyện về Elliptic" của Ash và Gross, rất dễ hiểu đối với người đọc có ít nền tảng về hình học đại số.
