Thứ nhất, tôi không nghĩ rằng $\zeta(s)$ là hiệu quả để tính toán. Mối quan tâm của chúng tôi trong việc tính toán $\zeta(s)$ cho các mục đích lý thuyết số nguyên tố thường tập trung vào đường tới hạn $\mathrm{Re}s=1/2$ và Công thức Riemann-Siegel đòi hỏi $O(t^{1/2})$ thuật ngữ để tính toán $\zeta(1/2+nó)$. Có những cách tăng tốc để tính toán bội số giá trị, nhưng không đáng kể như vậy.
Tương tự như vậy, tôi không chắc ý của bạn là đảo ngược. Hàm này không phải là song ánh (chẳng hạn như chúng ta biết nhiều nơi nó bằng 0).
Điều đó nói rằng, đã có một số ý tưởng xung quanh việc sử dụng lý thuyết số giải tích cho các phương pháp bao thanh toán. Phương pháp phân tích nhóm lớp của Shanks có thể được tăng tốc nếu người ta có thể tính gần đúng $L(1,\chi_N)$ (ở đây $L$-hàm dành cho trường số $\mathbb Q(\sqrt N)$ và có liên quan mật thiết với $\zeta(s)$. Giả sử giả thuyết Riemann tổng quát hóa, Shanks đã cố gắng giảm thời gian chạy thuật toán của mình thành yếu tố $N$ từ $O(N^{1/4+\epsilon})$ đến $O(N^{1/5+\epsilon})$. Độ phức tạp như vậy không có khả năng ảnh hưởng đến các số lớn hơn vài trăm bit và không thể cạnh tranh với sàng trường số chung.
Đã có ý tưởng sử dụng $\zeta(s)$ chính nó (xem bài báo gần đây "Bao thanh toán với gợi ý" của Sica chẳng hạn), nhưng những bài báo này gặp khó khăn trong việc tiếp cận sự phức tạp của các phương pháp của Shanks trong những năm 1970 (bài báo của Sica có độ phức tạp $O(N^{1/3+\epsilon})$.)
