Phương trình trường ẩn - sự tồn tại của số 0

Để cho $\mathbb{F}_q$ là một trường có kích thước hữu hạn $q$ (số nguyên tố), và $\mathbb{F}_{q^n}$ là một mức độ-$n$ mở rộng đại số của $\mathbb{F}_q$.

Để cho $F$ là một hàm đa thức $\mathbb{F}_{q^n} \to \mathbb{F}_{q^n}$ của hình thức $$ \sum_{i, j \in I_A} A_{i,j} X^{q^i + q^j} + \sum_{i\in I_B} B_i X^{q^i} + C $$ ở đâu $A_{i,j}, B_i,$ và $C$ là một số hằng số trong $\mathbb{F}_{q^n}$.

Đưa ra một cách ngẫu nhiên $D \in \mathbb{F}_{q^n}$, chúng ta cần tìm một giải pháp $X$ vì $F(X) = D$.

Câu hỏi của tôi là: tại sao một giải pháp như vậy tồn tại? Liệu phạm vi của $F$ che $\mathbb{F}_\mathbb{q^n}$? Làm thế nào để chúng tôi kiểm tra?

Một giải pháp như vậy không nhất thiết tồn tại trừ khi $F(X)$ là một đa thức hoán vị trên $\mathbb F_{q^n}$.

Đa thức hoán vị chính xác là những đa thức có phạm vi bao trùm toàn bộ trường.

Giấy Nhận biết các hàm hoán vị trong thời gian đa thức (của Neeraj Kayal, một trong những tác giả của phép thử tính nguyên hàm của thời gian đa thức AKS) đưa ra một phép thử thời gian đa thức.