Đối với các mục đích của đường cong elip và ghép cặp với tọa độ afin, các hàm là hàm hữu tỷ (tỷ số của hai đa thức) trong hai biến $X$ và $Y$ với các hệ số trong các trường tương thích. Đường cong là tập hợp các điểm tại đó một hàm cụ thể bằng không. Đường thẳng là những đường cong trong đó hàm bên dưới là một đa thức có tổng bậc 1. Hàm trên một đường cong (thường là đường cong được xác định bởi một hàm khác) là tập hợp các giá trị mà hàm này nhận tại các điểm của đường cong, tức là giá trị của hàm tại những nơi mà chức năng khác bằng không.
Ví dụ: nếu chúng ta làm việc trên các số hữu tỉ và xem xét hàm $C(X,Y)=Y^2-X^3+X-1$. Điều này xác định đường cong elip $E:C(X,Y)=0$ mà chúng ta có thể viết như $E:Y^2=X^3-X+1$. Cũng xem xét chức năng $L(X,Y)=2X-Y-1$, điều này xác định dòng $\ell:L(X,Y)=0$ mà chúng ta thường có thể viết $\ell:Y=2X-1$. Mặc dù các hàm được xác định cho tất cả các giá trị hữu tỉ của $X$ và $Y$, chúng ta có thể chuyên biệt hóa các giá trị nằm trên các đường cong. Chức năng $C$ trên đường cong $E$ bằng 0 ở mọi nơi, nhưng chức năng $L$ nhận nhiều giá trị thú vị hơn. Xem xét $L$ đánh giá tại điểm $(5,-11)$ nằm trên $E$. Đây là 20. Tương tự như vậy, chúng ta có thể nói về chức năng $C$ trên "đường cong" $\ell$ ví dụ. nếu chúng ta lấy điểm $(7,13)$ nằm trên $\ell$ chúng tôi thấy $C(7,13)=-168$.
Rõ ràng chúng ta có thể nói về nhiều hàm khác nhau được định nghĩa trên $E$ và không chỉ $L$.
Có những mối quan hệ thú vị giữa một chức năng $f$ trên một đường cong được xác định bởi một hàm $g$ và chức năng $g$ trên một đường cong được xác định bởi hàm $f$. Những điều này bắt đầu với sự quan sát rằng các số 0 được chia sẻ. Đặc biệt là số 0 của $L$ trên $E$ là $(0,-1)$, $(1,1)$, và $(3,5)$ đó cũng là số 0 của $C$ trên $\ell$.
