(Tôi đoán là không nhưng tại sao lại như vậy? Có cách nào để thực hiện được không?)
Cho tam giác đều T1 (có 3 đỉnh A,B,C nằm trong một trường hữu hạn $\mathbb F_N^D $) một tam giác đều T2 khác có thể được dựng bằng cách đối xứng một trong 3 đỉnh ở cạnh nằm giữa hai đỉnh còn lại. Điều này sẽ được lặp đi lặp lại nhiều lần.
Chỉ cho hai tam giác ngẫu nhiên T1 và T2 (và $\mathbb F_N^D $) một đối thủ có thể tính toán con đường ngắn nhất từ T1 đến T2 không?
(Giả sử có một cách và modulo $N$ và kích thước $D$ được chọn đủ cao để kiểm tra tất cả tam giác sẽ mất nhiều thời gian)
Hay anh ta có thể làm điều đó (nhiều) nhanh hơn là chỉ áp dụng từng bước một?
(ví dụ như tại EC một máy phát điện $g$ không cần phải được áp dụng $m$ lần nếu chúng ta muốn tính toán $g^m$. Tôi đang tìm kiếm một kỹ thuật nhiều chiều không thể giảm thành vấn đề một chiều và cần được tính toán từng bước. 'Độ dài' của 'cách ngắn nhất' sẽ là số phép tính (tam giác) cần thiết)
Để phản chiếu điểm A tại cạnh BC, chúng tôi đang tìm kiếm một điểm $S$ và biến $r$ với
$$S = B + r (C-B)$$
Để cho $v$ phương của cạnh BC:
$$v = \vec{v} = C-B$$
Cái này $S$ sẽ cho phép chúng ta tính toán hướng từ $A$ đến $BC$ và với tính toán này, điểm được nhân đôi $A_M$
$$A_M = A + 2(S-A)$$
Để làm điều này $S-A$ cần phải trực giao với $v$. Vì vậy, sản phẩm vô hướng cần phải là 0:
$$(S-A)' v = 0$$
$$(B+rv-A)' v = 0$$
$$(B-A)' v = -rv'v$$
$$r = \frac{(B-A)'v}{-(v'v)}$$
(giống như trong không gian euclide ngoại trừ trường hữu hạn $r$ cần phải tính toán với nghịch đảo $(-(v'v))^{-1}$ trên $N$)
Chỉnh sửa: fgrieu đã chỉ ra rằng cũng có một cách dễ dàng hơn nhiều để tính toán hình phản chiếu của một tam giác đều:
$$A_M = A' = B+C-A$$
(chỉnh sửa kết thúc)
Tôi đã làm một số thử nghiệm cho 2 chiều và số nguyên tố $N$.
trường hữu hạn $\mathbb F_N^2 $ chỉ có thể tạo ra một tam giác đều nếu $N$ có một gốc cho $3$.
Một tam giác đều với độ dài cạnh cho trước có thể tạo ra $2N^2$ tam giác khác (mỗi tam giác có cùng độ dài cạnh).
Mỗi chiều dài cạnh có hai tập hợp như vậy. Tổng cộng $2(N-1) (2N^2)$ mà là rời rạc với nhau.
(Tôi chỉ tính độ dài cạnh bình phương ở giữa hai điểm như trong không gian euclide)
Trong không gian euclide phản chiếu một tam giác xung quanh điểm ($C$) sẽ trông như thế này:
gương đầu tiên $A$ tại $CB$. Sau đó soi gương $B$ tại $CA_M$ và như thế. Nếu nó là một tam giác đều, nó sẽ khớp lại sau khi làm điều này 6 lần.
Trong trường hữu hạn $\mathbb F_{11}^2 $ nó có thể trông như thế này:
Nó cũng khớp sau khi làm điều này 6 lần (khoảng 1 điểm).
Làm nó chỉ theo một hướng nó sẽ khớp sau $2N$
Có một thuật toán mã hóa tương tự như thế này tồn tại?
Tại sao điều này không an toàn? Hoặc là nó? Nhiều kích thước hơn sẽ giúp ích?
Bất kỳ ý tưởng để làm cho nó an toàn hơn?
