Điều này rất không an toàn. Bất kỳ ai cũng có thể tạo ra bằng chứng giả rằng hai bản mã là tương đương.
Được cho $c_1$ và $c_2$, chọn ngẫu nhiên $x$ và để cho $a_1=c_1x\mod {n^2}$ và $a_2=c_2x\mod {n^2}$. Chúng ta thấy rằng $a_1c_2\equiv a_2c_1\pmod {n^2}$ phù hợp với tiêu chí xác minh.
Một bằng chứng rằng $c_1$ và $c_2$ là các mã hóa có cùng giá trị tương đương với việc chỉ ra rằng $c_1/c_2\pmod{n^2}$ là một $n$quyền lực. Đây là một giao thức sigma để chứng minh rằng bạn có thể thực hiện không tương tác với schtick Fiat-Shamir thông thường.
Để chứng minh rằng $k$ là một $n$modulo công suất $n^2$
Chúng tôi cho rằng người tục ngữ được phú cho $s:k\equiv s^n\pmod{n^2}$.
Sự cam kết
Người tục ngữ tạo ra một số ngẫu nhiên thống nhất $r\mod{n^2}$, tính toán $c=r^n\mod{n^2}$ và xuất bản $c$.
Thách đấu
Người xác minh yêu cầu người chứng minh công bố hoặc $r$ như vậy mà $r^n=c\mod{n^2}$ hoặc $r'$ như vậy mà $r'^n=ck\mod{n^2}$.
Phản ứng
Prover xuất bản hoặc $r$ hoặc $r'=rs\mod{n^2}$ theo thử thách.
Nếu cả hai phản hồi có thể có sẵn cho người trả lời thì người trả lời sẽ biết $s=r'/r$ để kiến thức về cả hai phản ứng chứng minh kiến thức về $s$. Do đó, giao thức đúng với xác suất cao khi số lần lặp lại giao thức tăng lên.
Verifer có thể tạo các bản ghi giao thức ngẫu nhiên cho chính họ bằng cách chọn thử thách đầu tiên, sau đó chọn phản hồi, sau đó là cam kết. Do đó, giao thức là không có kiến thức.
