QKD đo qubit với cơ sở sai

Giả sử rằng bạn đang nói về công thức thông thường của BB84 và Bob (người nhận) phải chọn một trong hai cơ sở $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ hoặc cơ sở $\{|+\rangle,|-\rangle\}$, thì xác suất chính xác là 1/2 của mỗi phép đo khi cơ sở sai được chọn.

Để thấy điều này, hãy nhớ lại rằng $$|+\rangle=\frac1{\sqrt2}|0\rangle+\frac1{\sqrt2}|1\rangle$$ $$|-\rangle=\frac1{\sqrt2}|0\rangle-\frac1{\sqrt2}|1\rangle$$ để nếu ví dụ chúng tôi đo lường $|-\rangle$ bên trong $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ cơ sở, chúng tôi thu được $|0\rangle$ với xác suất $(1/\sqrt2)^2=1/2$ và $|1\rangle$ với xác suất $(-1/\sqrt 2)^2=1/2$. Tương tự như vậy $$|0\rangle=\frac1{\sqrt2}|+\rangle+\frac1{\sqrt2}|-\rangle$$ $$|1\rangle=\frac1{\sqrt2}|+\rangle-\frac1{\sqrt2}|-\rangle$$ để nếu ví dụ chúng tôi đo lường $|0\rangle$ bên trong $\{|+\rangle,|-\rangle\}$ cơ sở, chúng tôi thu được $|+\rangle$ với xác suất $(1/\sqrt2)^2=1/2$ và $|-\rangle$ với xác suất $(1/\sqrt 2)^2=1/2$.

Trong mọi trường hợp với cơ sở truyền và cơ sở đo không khớp, 1/2 thời gian chúng ta đo trạng thái tương ứng với 0 và 1/2 thời gian trạng thái tương ứng với 1. Xác suất này không phụ thuộc vào trạng thái được truyền.