Bảo mật sơ đồ chữ ký ElGamal với trình tạo thứ tự nhỏ

Vì $p$ số nguyên tố 1024 bit, chúng ta có phần tử 1021 bit $g \in \mathbb{Z}_p^*$, trong đó thứ tự của $g$ nhỏ hơn nhiều so với bậc của $\mathbb{Z}_p^*$. Làm thế nào để đặt hàng nhỏ này $g$ ảnh hưởng đến tính bảo mật của chữ ký?

kích thước của $p$ chỉ ảnh hưởng đến chi phí của các hoạt động nhóm (nhỏ ngay cả đối với số 1024 bit). Nhiều cuộc tấn công đã biết chống lại Dlog chẳng hạn như baby-step-giant-step đang ở $\mathcal{O}(\sqrt{o(g)})$ hoạt động nhóm với $o(g)$, lệnh của $g$. Đó là lý do tại sao điều quan trọng là $g$ có cùng thứ tự $\mathbb{Z}^{*}_p$ (thì nó phải là một máy phát điện). Khác, nếu $o(g)$ nhỏ, bạn dễ dàng phá vỡ Dlog, và do đó là ElGamal.