ElGamal với các đường cong elip và bảo mật ngữ nghĩa

Để mã hóa một phần tử nhóm $P$ với khóa công khai $K$ và sự ngẫu nhiên $r$ sử dụng ElGamal trên các đường cong elip có điểm cơ sở $G$ chúng tôi làm như sau $(c_1, c_2) = (r\cdot G; P+r\cdot K)$.

Khi chúng tôi muốn mã hóa một tin nhắn dạng tự do $m$, chúng ta phải chuyển đổi nó thành một phần tử nhóm $P$ đầu tiên. Đối với điều đó, chúng ta có thể sử dụng phép nhân vô hướng $P=m\cdot G$ (bổ sung đồng hình) hoặc ánh xạ thông điệp $P = bản đồ(m)$ (nhân đồng hình). cái trước cho không chỉ là một điểm, mà là một phần tử nhóm. Cái sau phức tạp hơn.

Tất cả các phương pháp tôi tìm thấy ánh xạ một thông báo tới một điểm đường cong (Cách tiếp cận của Koblitz, biến thể của nó, bài viết mã hóa tiêm). Tuy nhiên, không có gì đảm bảo rằng điểm thu được thuộc nhóm tuần hoàn (tức là có thứ tự đúng).

Vì vậy, sử dụng mã hóa thành điểm EC kết quả trong không bảo mật ngữ nghĩa ElGamal. Về cơ bản, nó tương tự như rò rỉ nếu thông báo là dư lượng bậc hai hay không khi sử dụng $G_q$ trên trường hữu hạn với $p = 2q+1$ và tin nhắn từ $Z_p^*$ mà không cần mã hóa (chi tiết về lý do rò rỉ xảy ra là đây hoặc đây).

Có cách nào để mã hóa một tin nhắn ngẫu nhiên đến điểm EC theo đúng thứ tự (tức làphần tử nhóm)? Có cách nào để chuyển đổi điểm EC thành phần tử nhóm không?