Độ chính xác giải mã của Mã hóa dựa trên RLWE

Tôi gặp khó khăn trong việc chứng minh tính chính xác của quá trình giải mã trong Hệ thống mật mã dựa trên RLWE. Để nói rõ tôi đang ở đâu, trước tiên hãy để tôi trình bày sơ đồ đầy đủ. Hình ảnh từ chương 3.2 của tờ giấy này.

Và bằng chứng giải mã đúng đắn của kế hoạch sau

Trong bằng chứng này, tôi có thể nhận được phương trình cuối cùng thứ hai trong quy trình giải mã, tức là $$\mathbf{m} + (t/q)(\mathbf{v}-\epsilon \cdot \mathbf{m}) + t\cdot \mathbf{r} $$

Nhưng đối với phương trình cuối cùng tôi không biết tại sao. $$(t/q)||\mathbf{v}-\epsilon \cdot \mathbf{m}|| \lt 1/2 $$

Tôi có một số manh mối. chúng tôi đã có $||\mathbf{v}|| \le 2\cdot \delta_R \cdot B^2 + B$, Sau đó $2\cdot \delta_R \cdot B^2 + B \lt \Delta / 2$, chúng ta có $||\mathbf{v}|| \lt \frac{q}{2t}$ từ $\Delta = \lfloor q/t \rfloor \le q/t$. Vì thế $(t/q)||\mathbf{v}|| \lt \frac{1}{2}$. Điều này rất giống với những gì chúng tôi muốn, tức là $(t/q)||\mathbf{v}-\epsilon \cdot \mathbf{m}|| \lt 1/2 $.
Tôi đoán có một mối quan hệ giữa $||\mathbf{v}||$ và $||\mathbf{v}-\epsilon \cdot \mathbf{m}||$ , nhưng tôi không biết cách xây dựng mối quan hệ giữa chúng. Bằng chứng trong bài báo có một lời giải thích ngắn gọn "Vì $\mathbf{m} \in R_t$" , nhưng tôi không thể hiểu được. Bất kỳ ai cũng có thể đưa ra một số gợi ý hữu ích.

Thêm vào đó, định mức trong bài báo này ở định mức vô cực.

Chỉnh sửa20220601:
Thêm một số giải thích ở trên.

1. $\delta_R $ được gọi là hệ số giãn nở của vành $R$. Và $\delta_R = \max{\frac{||a\cdot b||}{||a||\cdot ||b||}},a\in R, b\in R$.
2. Ở trên, chúng ta có $\mathbf{v} = \mathbf{e}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{e}_1 +\mathbf{e}_2\cdot \mathbf{s}$, từ $\mathbf{e},\mathbf{u},\mathbf{e}_2,\mathbf{s} \in \chi$, nên chuẩn vô cực của chúng đều có giới hạn $B$, sau đó $||\mathbf{e}\cdot \mathbf{u}||= \frac{||\mathbf{e}\cdot \mathbf{u}||}{||\mathbf{e}||\cdot ||\mathbf{u}||}\cdot ||\mathbf{e}||\cdot ||\mathbf{u}|| \le \delta_R \cdot B^2$, tương tự, $||\mathbf{e}_2 \cdot \mathbf{s}|| \le \delta_R \cdot B^2$, vì vậy chúng tôi có $||\mathbf{v}|| \le 2\cdot \delta_R \cdot B^2 + B$