Tôi đang cố gắng giải quyết một vấn đề có nội dung như sau:
Để cho $E_1 = (\text{Gen}_1, \text{Enc}_1, \text{Dec}_1)$ là một loại tiền điện tử
hệ thống có bí mật hoàn hảo. Biểu thị không gian tin nhắn $\mathbb
M_1$, không gian khóa $\mathbb K_1$ và không gian cyphertext $\mathbb C_1$ ($\mathbb M_1=\mathbb C_1 = \mathbb T, \mathbb K_1 = \mathbb K$).
Để cho $E_2 = (\text{Gen}_2, \text{Enc}_2, \text{Dec}_2)$ là một hệ thống mật mã có cùng không gian tin nhắn, không gian mật mã và không gian khóa như trong $E_1$, với sự thay đổi duy nhất đó $\text{Enc}_2(k,m)=\text{Dec}_1(k,m)$. Làm $E_2$ cũng có bí mật hoàn hảo?
Những gì tôi đã cố gắng làm là như sau:
Theo định nghĩa về bí mật hoàn hảo, chúng tôi có điều đó cho bất kỳ phân phối nào $D_1$ trên $\mathbb M_1= \mathbb T$ và cho bất kỳ $(m,c)\in \mathbb T \times \mathbb T$ với $\Pr[C_1 = c | M_1 = m]= Pr[C_1 = c]$ ở đâu $Pr[M_1 = m] > 0$ ($M_1,C_1$ là các biến ngẫu nhiên).
Bây giờ chúng tôi giả sử một số phân phối $D_2$ trên $\mathbb M_2=\mathbb T$, và cố gắng chứng minh rằng hệ thống mật mã này có tính bảo mật hoàn hảo như sau:
Để cho $m\in \mathbb M_2 = \mathbb T$ như vậy mà $Pr[M_2 = m] > 0$, và để $c\in \mathbb C_2 = \mathbb T$, sau đó:
$Pr[C_2 = c| M_2 = m] = Pr[\text{Enc}_2(K,m)=c] = Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = $
Ở đây có hai cách để đi về phía trước. $K$ là một biến ngẫu nhiên được phân phối bởi một số phân phối trên $\mathbb K$ và điều đó phải giống nhau đối với cả hai hệ thống tiền điện tử vì chúng sử dụng cùng một $\text{Gen}$ thuật toán. Cho nên:
$Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = \sum_{k:\text{Dec}_1(k,m)=c} Pr[K=k]$ nhưng tôi không biết thuật toán giải mã trông như thế nào nên không biết những xác suất này có thể là gì.
Một cách tiếp cận khác là giả định (có lẽ sai) rằng $Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = Pr[M_1 = c | C_1 = m]$ và đưa ra bí mật hoàn hảo của $E_1$ mà hoạt động ra được bằng $Pr[M_1 = c]$
Và $Pr[C_2 = c] = \sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m]*Pr[C_2 = c | M_2 = m] = \sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m]*Pr[M_1 = c] = Pr[M_1 = c]*\sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m] = Pr[M_1 = c]*1 = Pr[M_1 = c]$
Và vì vậy chúng bằng nhau, do đó $E_2$ có bí mật hoàn hảo.
Mối quan tâm của tôi là giả định mà tôi đã đưa ra trước đây là sai và $Pr[C_1 = c] có thể bằng 0, trong trường hợp này điều này cũng sai.
Tôi cảm thấy mình không hiểu bí mật hoàn hảo thực sự có nghĩa là gì và vì vậy tôi chỉ có trong tay định nghĩa này để làm việc..
Bất kỳ ý tưởng nếu điều này là chính xác?
Cảm ơn trước.
