trường hữu hạn $(\mathbb F,+,\cdot)$ là một tập hợp hữu hạn $\mathbb F$ với hai định luật nội tại $+$ và $\cdot$, như vậy mà $(\mathbb F,+)$ là một giao hoán tập đoàn với ghi chú trung tính $0$, và $(\mathbb F-\{0\},\cdot)$ là một nhóm giao hoán với ghi chú trung lập $1$, và phép nhân là w.r.t phân phối bổ sung đó là $\forall A,B,C\in\mathbb F$ nó giữ $A\cdot(B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$.
Có thể chỉ ra rằng tất cả các trường hữu hạn có cùng số phần tử là đẳng tích, nghĩa là chúng ta có thể ánh xạ từ cái này sang cái khác bằng một phép chiếu $\toán học F$ như vậy mà $\mathcal F(A+B)=\mathcal F(A)+\mathcal F(B)$ và $\mathcal F(A\cdot B)=\mathcal F(A)\cdot \mathcal F(B)$. Do đó chúng ta có thể nói về các trường hữu hạn $\mathbb F$ với $q$ phần tử. Nó thường được ghi nhận $\mathbb F_q$.
Có thể chỉ ra rằng bất kỳ trường hữu hạn nào cũng có một số $q$ của các phần tử của hình thức $q=p^k$ cho một số nguyên tố $p$ và một số $k\in\mathbb N^*$.
Khi nào $k=1$, cánh đồng $(\mathbb F_p,+,\cdot)$ đơn giản là vành các số nguyên modulo $p$, đó là $(\mathbb Z_p,+,\cdot)$.
cho tùy ý $k\in\mathbb N^*$, chúng ta có thể nghĩ về trường $(\mathbb F_{p^k},+,\cdot)$ là tập hợp các đa thức bậc tới $k-1$ và các hệ số trong $\mathbb Z_p$. Đó là, đa thức cho một biến trừu tượng $x$ với một hệ số trong $\mathbb Z_p$ cho mỗi $k$ điều kiện $x^i$ với $i\in\{0,1\ldots,k-1\}$. Ngoài ra trong $\mathbb F_{p^k}$ là cộng các đa thức. nhân trong $\mathbb F_{p^k}$ là phép nhân các đa thức theo sau là rút gọn modulo một đa thức rút gọn cụ thể $R(x)$ bằng cấp chính xác $k$, và không thể rút gọn.
Tương tự, chúng ta có thể nghĩ về $\mathbb F_{p^k}$ như tập hợp của $p^k$ bộ dữ liệu của $k$ các yếu tố của $\mathbb Z_p$, lưu ý $(a_0,a_1\ldots,a_{k-1})$. Bổ sung được xác định bởi$$(a_0,a_1\ldots,a_{k-1})+(b_0,b_1\ldots,b_{k-1})=(a_0+b_0,a_1+b_1\ldots,a_{k-1}+ b_{k-1})$$với những bổ sung sau này được thực hiện trong $\mathbb Z_p$, đó là với modulo giảm $p$. Nếu bộ dữ liệu $A$ có $a_i=1$ và tất cả các điều khoản khác $0$, và bộ $B$ có $b_j=1$ và tất cả các điều khoản khác $0$, thì khi nào $i+j<k$ tuple $C$ vì $A\cdot B$ có $c_{i+j}=1$ và tất cả các điều khoản khác $0$. Khi nào $i+j=k$, bộ dữ liệu $C$ vì $A\cdot B$ là một bộ không đổi $(r_0,r_1,\ldots,r_{k-1})$ độc lập khỏi $i$ và $j=k-i$. Bộ đó sao cho đa thức $R(x)=x^k-r_{k-1}\,x^{k-1}\ldots-r_1\,x-r_0$ với các hệ số trong $\mathbb Z_p$ Là không thể rút gọn, ngụ ý $r_0\ne0$. Bộ dữ liệu không đổi này $(r_0,r_1\ldots,r_{k-1})$, hoặc tương đương với đa thức $R(x)$, kết hợp với các quy tắc và tính chất đã nêu trước đó của $+$ và $\cdot$, xác định đầy đủ phép nhân và nó trung lập $(1,0\ldots,0)$.
Chúng ta có thể tính toán tuple $(c_0,c_1\ldots,c_{k-1})$ vì $(a_0,a_1\ldots,a_{k-1})\cdot(b_0,b_1\ldots,b_{k-1})$ như sau:
$(c_0,c_1\ldots,c_{k-1}):=(0,0\ldots,0)$
vì $i$ từ $k-1$ xuống đến $0$
- $m:=c_{k-1}$
- vì $j$ từ $k-1$ xuống đến $1$
- $c_j:=m\cdot r_j+a_i\cdot b_j+c_{j-1}$
- $c_0:=m\cdot r_0+a_i\cdot b_0$
với các tính toán trong hai dòng cuối cùng được thực hiện trong $\mathbb Z_p$, đó là modulo $p$.
