Ở đó làm tồn tại các bằng chứng về tính kết hợp của định luật nhóm đường cong elliptic dựa trên định nghĩa hình học (cùng với một số kết quả trong hình học xạ ảnh), nhưng chúng chắc chắn không tầm thường. Cassels' cuốn sách nhỏ về đường cong elip chứa đựng một bằng chứng như vậy (và đó là một lời giới thiệu hay về lý thuyết đường cong elip nói chung, vì vậy tôi chắc chắn sẽ giới thiệu nó).
Cách cơ bản nhất để chứng minh tính kết hợp tất nhiên là chỉ viết ra các hệ số cho $(P+Q)+R$ và $P+(Q+R)$ và quan sát rằng chúng giống nhau, nhưng tôi chắc chắn đồng ý rằng điều này không giải thích được điều gì.
Có nhiều cách tiếp cận trí tuệ hơn giải thích lý do tại sao luật bổ sung trông như vậy, nhưng chúng yêu cầu nhiều toán học hơn. Lập luận cơ bản diễn ra như sau: có một nhóm cộng được liên kết với bất kỳ đường cong đại số nào được gọi là nhóm các ước số không có độ, và nó thực sự là một nhóm varietyâ theo nghĩa là nó có thể được biểu diễn bằng một đối tượng hình học (gọi là biến Jacobian) với các phép toán nhóm cho bởi bản đồ hình học.Hơn nữa, kích thước của đối tượng hình học đó biến một thành chi, một số là $1$ chính xác cho các đường cong elip, hay đúng hơn, cho những thứ trở thành đường cong elip sau khi bạn cố định một điểm phân biệt. Và một khi bạn sửa điểm phân biệt đó, có một cách đơn giản để ánh xạ bất kỳ điểm nào trên đường cong thành một ước số không độ. Điều này cung cấp cho bạn một bản đồ giữa đường cong ban đầu và Jacobian, hóa ra là một đẳng cấu, và do đó, luật nhóm trên đường cong elip ban đầu xuất phát từ luật nhóm tự nhiên trên Jacobian, mà tất cả các thuộc tính của nhóm đều không đáng kể. Do hành vi của các ước số, bạn cũng dễ dàng thấy rằng ba điểm có tổng bằng 0 khi và chỉ khi chúng nằm trên một đường thẳng, vì vậy bạn khôi phục lại mô tả hình học truyền thống.
Làm cho những điều trên hoàn toàn nghiêm ngặt đòi hỏi một số lượng lớn máy móc hình học đại số, nhưng theo một nghĩa nào đó, đó là cách chính xác để xem tính kết hợp đến từ đâu. (Về mặt lịch sử, mọi thứ diễn ra theo cách khác, thông qua các phương pháp giải tích mở rộng các định luật cộng từ hàm lượng giác sang cái gọi là hàm elip, nhưng cách lịch sử đó không phù hợp lắm với cài đặt trường hữu hạn mà chúng ta sử dụng trong mật mã học).
