Làm thế nào để tìm ra thứ tự của điểm cơ sở của đường cong elip là gì?

Đáp án lý thuyết đây

• Làm cách nào để xác định thứ tự của một nhóm đường cong elip từ các tham số của nó?

  • Thuật toán Schoof, René Schoof, 1985 với sự phức tạp $\mathcal{O}(\log^8 q)$
  • Thuật toán SchoofâElkiesâAtkin (SEA) với sự phức tạp $\mathcal{O}(\log^6 q)$

Thực tế, người ta có thể sử dụng hiền toán để tìm thấy nó;

một = 1
b = 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406665
p = 2^251 + 17*2^192 +1

E = EllipticCurve(GF(p), [0,0,0,a,b])
in(E)
in(E.abelian_group())

thẻ = E.cardinality()
in ("cardinality =",thẻ)
yếu tố (thẻ)

G = E (874739451078007766457464989774322083649278607533249489777
print("Đơn hàng trình tạo q=", G.order())

kết quả này

    Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x + 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406665 over Finite Field of size 3618502788666131213697322783095070105623107215331596699973092056135872020481
Additive abelian group isomorphic to Z/3618502788666131213697322783095070105526743751716087489154079457884512865583 embedded in Abelian group of points on Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x + 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406665 over Finite Field of size 3618502788666131213697322783095070105623107215331596699973092056135872020481
số lượng = 3618502788666131213697322783095070105526743751716087489154079457884512865583
Thứ tự máy phát q= 3618502788666131213697322783095070105526743751716087489154079457884512865583

Vì bậc của đường cong là số nguyên tố nên ta có một đường cong nguyên tố, mọi phần tử đều là một trình tạo, do đó thứ tự của điểm cơ sở bằng với thứ tự của nhóm đường cong.

Ngoài ra, đồng sáng lập $h$ là 1 vì thứ tự đường cong là số nguyên tố. Đồng sáng lập được định nghĩa là số lượng $k$ điểm hữu tỉ của đường cong $h = \#E(k)/n $ chia cho thứ tự của phần tử cơ sở $n$

Tôi không thể tìm thấy bất kỳ thông tin nào về số ma thuật (không có gì trong tay áo của tôi). Lý do cho sự lựa chọn của $G$ không rõ ràng. Mặc dù nó là tâm lý, người ta nên cung cấp nó.

SageMath sử dụng sea.gp đó là một triển khai nhanh của thuật toán SEA. Thư viện này được thực hiện trong pari/GP. Một slide hay về sea.gp là Thuật toán SEA trong PARI/GP.