Làm thế nào để chứng minh sự bất bình đẳng của định thức mạng q-ary?

vì $A\in{Z_q^{n*m}}$ và $A^{'}\in{Z_q^{m*n}}$,chúng ta có

• $det{({\land}_q^{\bot}(A))}{\le}q^n$ và $det{({\land}_q(A^{'}))}{\ge}q^{m-n}$
• nếu q là số nguyên tố và A, A' không phải là số ít trong trường hữu hạn $Z_q$, bất đẳng thức trên là đẳng thức.

ở đâu ${\land}_q^{\bot}(A) = \{x{\in}Z^m|Ax=0{\bmod}q\}$ và ${\land}_q(A)=\{y{\in}Z^m|y=As{\bmod}q\}$

Nội dung trên lấy từ bài giảng của D. Dadush (bổ đề 4) bài giảng_9.Tôi không biết cách chứng minh bổ đề trên vì chứng minh trong bài giảng quá sơ sài đối với tôi. Tôi sẽ đánh giá cao nếu ai đó có thể cung cấp chứng minh chi tiết hơn

Tôi lấy cảm hứng từ ppt của vadim. Nhưng tôi chỉ chứng minh được một nửa định lý.

Bằng chứng: ${\vì}{\land_q^{\bot}}(A)$ là một mạng số nguyên, ${\do đó} {det({\land_q^{\bot}}(A))}=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|$. chúng ta hãy xác định một ánh xạ ${f}:{Z^m}{\to}{Z_q^{n}}$,${f:Ax{\bmod}q}$.Thật dễ dàng để xác minh rằng $f$ là đồng cấu.Theo định lý cơ bản của đồng cấuï¼$|{Z^m}/kerf|=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|=|im({Z^m})|$.Bởi vì $im({Z^m}){\subseteq}{Z_q^{n}}$,Vì thế ${det({\land_q^{\bot}}(A))}=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|{\leq}q^n$. Nếu q là số nguyên tố và A không phải là số ít thì $f$ là đồng cấu đầy đủ vì mọi ảnh trong ${Z_q^{n}}$ có thể tìm thấy hình ảnh gốc trong ${Z^m}$.Cho nên $im({Z^m})={Z_q^{m}}$ và ${det({\land_q^{\bot}}(A))}=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|=q^n$.

Tuy nhiên, tôi chưa tìm ra cách chứng minh nửa còn lại của định lý. Tôi sẽ biết ơn nếu ai đó có thể đưa ra phần còn lại của bằng chứng.