PKG thực hiện các bước sau
- Chọn $p,q \in \mathbb{P}$.
- Tính toán $N=pq$.
- Tính toán $\phi (n)=(p-1)(q-1)$.
- Chọn $e$ với $gcd(e,\phi(n))=1$ và $1 < e < \phi(n)$.
- Để cho nó được $e = {p^{e_1}_1} \cdot {p^{e_2}_2} \cdot \ldots
{p^{e_k}_k}$ thừa số nguyên tố của $e$ vì $i \in k:p_i \in \mathbb{P},e_i \in \mathbb{N}$.
Chọn một ánh xạ tiêm $H$ với
\begin{align*}
H &: \begin{cases}
\{0,1\}^i \rightarrow \mathbb{Z} / N \mathbb{Z} & \
ID \mapsto m = {p^{e_{m_1}}_1} \cdot {p^{e_{m_2}}_2} \cdot \ldots {p^{e_{m_k}}_k} & (i \in k :p_i \in \mathbb{P},e_{m_i} \in
\mathbb{N})
\end{trường hợp}
\end{align*}
và $eH(ID)<\phi(n)$ vì $i \in \mathbb{n}$. Các tham số có sẵn công khai là $\texttt{params} = \langle e, N, H \rangle$ và $\texttt{khóa chính}$ Là $\phi(n) \in \mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$.
PKG mất sau đó một $ID \in \{0,1\}^{*}$ (từ Alice) và tính toán Khóa bí mật tương ứng $d_{ID}$ với
\begin{align*}
(e H(ID)) d_{ID} \equiv 1 \text{ mod } \phi(n)
\end{align*}
Khi Bob muốn mã hóa một tin nhắn $m \in \mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$, anh ấy lấy $\texttt{params}$ và tính toán
\begin{align*}
c \equiv m^{e H(ID)} \text{ mod } N
\end{align*}
Alice giải mã bản mã này $c$ với
\begin{align*}
m \equiv c^{d_{ID}} \text{ mod } N
\end{align*}
VÍ DỤ
$p = 1010231362240711373894507355467 \in \mathbb{P}$ và
$q = 793738224882014450642935586909 \in \mathbb{P}$.
$N=pq=801859248185081566400631735533731882269717325788593134781503$
$\phi(N) = 2^3 \cdot 31 \cdot 283 \cdot 29347 \cdot 39547129
\cdot 422250739 \cdot 1354514929 \cdot 17211833615713895353775639$.
$e = 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23
\cdot 29$.
nó áp dụng $ID \in \{0,1\}^8$ với $ID=\langle b_1,b_2,\ldots,b_8
\rangle$ vì $i \in 8:b_i \in \{0,1\}$. Chọn $H$ như:
\begin{align*}
H &: \begin{cases}
\{0,1\}^8 \rightarrow \mathbb{Z} / N \mathbb{Z} & \
ID \mapsto m = {5^{{b_1}}} \cdot {7^{{b_2}}} \cdot \ldots \cdot {29^{{b_8}}} &
\end{trường hợp}
\end{align*}
Các tham số có sẵn công khai là
\begin{align*}
\texttt{params} &= \langle 1078282205, 801859248185081566400631735533731882269717325788593134781503, H \rangle
\end{align*}
Các $\texttt{khóa chính}$ Là
\begin{align*}
\phi(N) &= 801859248185081566400631735531927912682594599964055691839128
\end{align*}
PKG mất sau đó $ID = 01101111$ làm ID của người dùng "o". sau đó $H(ID) = 5^0 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^0 \cdot 17^1 \cdot 19^1 \cdot 23^1 \cdot 29^1 = 16588957$, $eH(ID)=17887577132610185$ và $d_{ID}=308315206989333722335381678529602981822693965290742774973561$.
Người dùng "i" bây giờ muốn mã hóa tin nhắn 3463463463463424234234234. Anh ta tính toán
\begin{align*}
c &\equiv 3463463463463424234234234^{17887577132610185} \text{ mod N} \
&\equiv 353097511425650359803351296367609508451542189692844760010085 \text{ mod N}
\end{align*}
Người dùng "o" giải mã bản mã bằng:
\begin{align*}
m &\equiv 353097511425650359803351296367609508451542189692844760010085^{D_{ID}} \text{ mod N} \
&\equiv 3463463463463424234234234 \text{ mod N}
\end{align*}
