Tuyên bố "chúng tôi hy vọng sẽ sản xuất $2^{64.3}$ các số trước khi chúng tôi bắt đầu lặp lại" chỉ đúng nếu chúng tôi tin rằng Hình vuông ở giữa 128 bit hoạt động giống như một ánh xạ ngẫu nhiên trên $\{0,1\}^{128}$. Tuy nhiên, chúng tôi có thể chỉ ra rằng nó có các thuộc tính rất khó xảy ra đối với ánh xạ ngẫu nhiên.
Nhớ lại rằng Middle Square 128-bit duy trì trạng thái 128-bit $S_t$. Cập nhật được thực hiện một cách hiệu quả bằng cách bình phương $S_t$và lấy bit 64-191 làm bit mới $S_{t+1}$ I E.
$$S_{t+1}=(S_t^2>>64)\%2^{128}.$$
Nhà nước $S_t=0$ đại diện cho một điểm cố định. Mặc dù các ánh xạ ngẫu nhiên có các điểm cố định với xác suất xấp xỉ $(1-1/e)$, đây là một điều không bình thường vì nó có một số lượng lớn tiền ảnh. Bất kỳ số nào $S<2^{32}$ sẽ ánh xạ tới 0 cũng như bất kỳ số nào $S$ chia hết cho $2^{96}$. Tổng cộng những hình ảnh trước này (có thể có những hình ảnh khác) $2^{33}$ khi đối với một bản đồ ngẫu nhiên lớn, chúng tôi mong đợi số lượng tiền ảnh được phân phối Poisson (1). Hơn nữa, nếu chúng ta xem xét những người tiền nhiệm, bất kỳ số nào $S<2^{64}$ sẽ ánh xạ tới một số nhỏ hơn và số nhỏ hơn $2^{63}$ sẽ đạt 0 trong ít hơn 6 bước. Tương tự cho các số chia hết cho $2^{65}$. Điều này mang lại ít nhất $2^{64}$ trạng thái tiền thân cho 0 khi một bản đồ ngẫu nhiên mong đợi $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ (với thời gian hợp nhất như nhau). Số lượng các trạng thái tiền nhiệm còn tăng nhiều hơn khi chúng ta xem xét các trạng thái tiền thân có thể có của các trạng thái được bảo đảm của chúng ta. $2^{64}$ các trạng thái tiền nhiệm, nếu mỗi trạng thái này có $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ những người tiền nhiệm, chúng ta có thể thấy một tỷ lệ dương không gian của chúng ta suy biến về trạng thái 0.
Cũng tồn tại một không gian con được bảo toàn của số chia hết cho $2^{64}$ (không gian này có kích thước $2^{63}$) mà chúng tôi có thể mong đợi để hiển thị số liệu thống kê ánh xạ ngẫu nhiên cho không gian nhỏ hơn (ví dụ:chiều dài chu kỳ của $2^{31.5}\sqrt{\pi/8}$). Sau đó, chúng tôi xem xét các tiền thân cho không gian con này và tạo ra các kỳ vọng khác biệt đáng kể so với ánh xạ ngẫu nhiên đầy đủ.
Nhìn chung, các cấu trúc này rất không điển hình của ánh xạ ngẫu nhiên và chúng ta nên kết luận rằng ánh xạ ngẫu nhiên không phải là một mô hình tốt trong trường hợp này.
