Cấu trúc thành phần của hoán vị

Nếu $P_1, P_2$ là những hoán vị hữu hạn, chúng ta có thể nói gì về $P_3 = P_1 \cdot P_2$? Tức là những tính chất nào của thành phần của các hoán vị có thể được suy ra từ các thuộc tính của hoán vị được cấu tạo?

Vì các hoán vị tạo thành một nhóm nên với mọi $P_2$ và $P_3$, tồn tại một $P_1$ rằng khi sáng tác với $P_2$ cho $P_3$. Vì vậy, có phạm vi thành phần kéo dài toàn bộ không gian hoán vị. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là chúng ta không thể tìm hiểu những điều nhất định về cấu trúc hoặc bản chất của chúng. Ví dụ: Nếu chúng ta biết cấu trúc tuần hoàn của $P_1$ và $P_2$, chúng ta có thể tìm hiểu cấu trúc tuần hoàn của $P_3$?

Hoặc, nếu $P_1$ là một chu kỳ đơn giản (nghĩa là một sự thay đổi không có điểm cố định) và $P_2$ được biết, phạm vi của là gì $P_1 \cdot P_2$?

Hoặc, mối quan hệ giữa $P_1 \cdot P_2$ và $P_2 \cdot P_1$?

Tổng quát hơn: Những tính chất nào, nếu có, của thành phần các hoán vị có thể được suy ra từ các tính chất của các hoán vị riêng lẻ? Hoặc, nếu bạn lập luận rằng không thể suy ra những tính chất như vậy, hãy chứng minh điều đó.

Nếu chúng ta biết cấu trúc tuần hoàn của $P_1$ và $_2$, chúng ta có thể tìm hiểu cấu trúc tuần hoàn của $_3$?

Không. Hãy xem xét trường hợp khi $P_1$ là tất cả các điểm cố định trên thanh 2 chu kỳ và $P_2$ có cùng cấu trúc. $P_3$ có thể là danh tính; nó có thể bao gồm hai chu kỳ 2 rời rạc và các điểm cố định còn lại; nó có thể là 3 chu kỳ và các điểm cố định còn lại. Chúng ta có thể nói rằng nếu $P_1$ và $P_2$ thuộc về cùng một nhóm con (ví dụ: tư cách thành viên của nhóm xen kẽ có thể được suy ra từ cấu trúc chu trình) thì cũng vậy $P_3$.

Nếu $P_1$ là một chu kỳ đơn giản (nghĩa là một sự thay đổi không có điểm cố định) và $_2$ được biết, phạm vi của là gì $_1â _2$?

Đó là hợp của các lớp bên phải của các nhóm con dịch chuyển có giao điểm là $P_2$. Điều này gần giống với taautologous, nhưng tôi không thể nghĩ ra cách nào tốt hơn để mô tả nó.

mối quan hệ giữa $_1â _2$ và $_2â _1$?

Đó là một liên hợp bởi $P_2$ (và do đó đặc biệt có cấu trúc chu trình giống nhau). Để cho $Q=P_1P_2$ để có thể $P_1=QP_2^{-1}$ và $P_2\cdot P_1=P_2QP_2^{-1}$. $Q$ có $n!$ các biểu diễn như vậy có một biểu diễn tương ứng với bất kỳ liên hợp đã cho nào và do đó không thể suy ra cấu trúc nào nữa.