Lưu ý rằng đối với một mạng tinh thể $L\subseteq\mathbb{R}^n$, $\det(L)$ là khối lượng của một miền cơ bản.
Thường có nhiều đối tượng trong số này, nhưng có hai đối tượng thường được quan tâm hàng đầu:
- Tế bào Voronoi $\mathcal{V}(L) = \{x\in\mathbb{R}^n\mid \forall \ell\in L\setminus\{0\}, \lVert x\rVert_2\leq \lVert x- \ell\rVert_2\}$, ví dụ. đó là các điểm trong $\mathbb{R}^n$ gần 0 hơn bất kỳ điểm mạng nào khác.
- Parallelpiped cơ bản --- để có cơ sở $\mathbf{B}$ của mạng tinh thể, đây là tập hợp $\mathbf{B}[0,1)^n$ (Hoặc đôi khi $\mathbf{B}[-1/2,1/2)^n$.
Đối với một số vấn đề về ranh giới, một miền cơ bản "không gian ô", nghĩa là tổng
$$L + D = \mathbb{R}^n$$
là một vách ngăn. Nếu chúng ta giả sử mạng là $q$-ary, chúng ta có thể giảm bớt mọi thứ mod $q$ để có được điều đó $(L\bmod q) + (D\bmod q) = \mathbb{R}/q\mathbb{R}^n$ cũng là một phân vùng [1].
Lấy khối lượng, chúng tôi nhận được rằng
$$|L\bmod q||D\bmod q| = q^n\ngụ ý |L\bmod q| = \frac{q^n}{|D|} = \frac{q^n}{\det L}.$$
Sau đó, những gì bạn muốn sau khi sử dụng mạng đó là $m$-chiều, và có $|L\bmod q| = q^{m-n}$ điểm nên định thức phải là $q^n$.
[1] Có thể có một số vấn đề với các miền cơ bản đặc biệt bất thường $D$ ở đây (trong các miền cơ bản cụ thể không có trong $[-q/2, q/2)^n$, nhưng nếu bạn để $D$ là tế bào Voronoi, mọi thứ có vẻ ổn, và tôi thậm chí không chắc liệu nỗi lo lắng mà tôi đề cập này có phải vì một lý do cụ thể hay không.
