Cơ hội va chạm 2^(n/2) của thẻ n-bit Ï không thay đổi nếu giảm xuống (n/2)-bit bằng cách giảm Ï thành phần tử nhóm thứ tự 2^(n/2) nào đó?

Nếu $H(k, Î) = Ï$, trong bối cảnh mà $Ï$ là một $n$-chút thẻ được tạo dưới dạng mac trên một khóa, $k$, và một tin nhắn, $M$, thông qua hàm băm có khóa, $H$, có một chức năng $F(Ï) = T$ mà biến đổi $Ï$ thành một phần tử nhóm, $Τ$, của một số nhóm, $G$, theo thứ tự $2^{\frac{n}{2}}$, như vậy mà:

• Cơ hội sản xuất bất kỳ $T$ ( ở đâu $F(Ï') = F(Ï) = T$; và $Ï' â Ï$ ) được cho bởi $â2^{\frac{-n}{2}}$ ?

Nó sẽ xuất hiện rằng bất kỳ $n$-chút thẻ có thể được giảm xuống thành một $\frac{n}{2}$-chút thẻ có cùng cơ hội va chạm nếu $F$ tồn tại.

Một ngây thơ và đơn giản $F$ người ta có thể coi là chỉ $F(Ï) = Ï$ $mod$ $N$, ở đâu $N$ là cái lớn nhất $\frac{n}{2}$-chút nguyên tố. ý tưởng là $Ï$ $mod$ $N$ chỉ có một xung đột cho tất cả các số giữa hai bội số của $N$, trong khi một $\frac{n}{2}$-chút hàm băm có một $2^{\frac{-n}{4}}$ cơ hội va chạm cho cùng một số lượng đầu vào duy nhất. Có $â2^{\frac{n}{2}}$ bội số của $N$ trong $n$-chút không gian của tất cả những gì có thể $Ï$, vì thế, $Ï$ $mod$ $N$ chỉ nên có $â2^{\frac{n}{2}}$ Sự va chạm.

Liệu như vậy $F$ hiện hữu? Và là $F(Ï) = Ï$ $mod$ $N$ một ví dụ về một chức năng như vậy?