Đối với các hệ thống mật mã McEliece/Niederreiter, một lựa chọn mã hiệu quả có vẻ an toàn là mã Goppa nhị phân bất khả quy, được xác định bởi một hàm bất khả quy. $g(x)\trong GF(2^m)[x]$ bằng cấp $t$ và một vectơ hỗ trợ $L=(\alpha_0,\ldots,\alpha_{n-1})$ với sự khác biệt $\alpha_i\trong GF(2^m)$.
Bản thân mã này là $GF(2)$-vectơ có giá trị trong hạt nhân của ma trận kiểm tra chẵn lẻ
$$
H=\trái(
\begin{array}{cccc}
g(\alpha_0)^{-1}&g(\alpha_1)^{-1}&\ldots&g(\alpha_{n-1})^{-1}\
g(\alpha_0)^{-1}\alpha_0&g(\alpha_1)^{-1}\alpha_1&\ldots&g(\alpha_{n-1})^{-1}\alpha_{n-1}\
\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\
g(\alpha_0)^{-1}\alpha_0^{t-1}&g(\alpha_1)^{-1}\alpha_1^{t-1}&\ldots&g(\alpha_{n-1})^{ -1}\alpha_{n-1}^{t-1}\
\end{mảng}\phải).
$$
Lưu ý rằng $H$ là hạng đầy đủ. Để tạo ma trận kiểm tra chẵn lẻ $H'$ trên $GF(2)$, người ta có thể thay thế các mục của $H$ với các vectơ cột trong $GF(2)$ (sử dụng một số cơ sở cho phần mở rộng $GF(2^m)/GF(2)$).
Hầu như tất cả các nguồn tôi tham khảo đều liệt kê mã kết quả là $[n,k]=[n, n-mt]$, nhưng cấu trúc chung (ví dụ mã thay thế) cho $k=n-mt$ như một chặn dưới cho kích thước $k$ của mã không gian con kết quả.
Câu hỏi của tôi là:
- Xếp hạng kết quả thường xuyên như thế nào $k=n-mt$? Trong thiết lập AG, tôi đoán đây là thứ nguyên Riemann-Roch nên có lẽ một nhà hình học đại số có thể trả lời.
- Có vấn đề gì nếu chúng ta có các hàng dư thừa trong kiểm tra chẵn lẻ $H'$? Điều này có ảnh hưởng đến việc triển khai hệ thống mật mã không?
Tôi đoán điều này được giải quyết trong trình tạo khóa từ https://eprint.iacr.org/2017/595.pdf (phần 5.2), nếu chỉ trả về lỗi và khởi động lại quá trình tạo khóa khi không đạt được rref; họ đưa ra xác suất thành công là 29% dựa trên mật độ $GL_{mt}(GF(2))$ Trong $Mat_{mt\times mt}(GF(2))$, tức là mật độ tiệm cận là
$$
\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{2^i}\right)=0,288\ldots.
$$
Suy nghĩ thứ hai liên quan đến 1), tôi đoán đó là câu hỏi nhiều hơn về thời điểm hạt nhân của bản đồ tuyến tính được xác định trên một trường con (ví dụ: hạt nhân của $x-\sqrt{2}y$ có kích thước một trên $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ nhưng thứ nguyên bằng không khi bị giới hạn ở $\mathbb{Q}$).
